Löslichkeit AluHydroxid

Wieviel mg $Al(OH)_3$ löst sich in 1L Wasser?   $K_L = 1,9 \cdot 10^{-33}$, $M = 78 \frac {g}{mol}$

Wenn sich $Al(OH)_3$ in Wasser löst kann man von folgender Gleichung ausgehen:
$$Al(OH)_3  \rightleftharpoons Al^{3+} + 3 OH^-$$

Zu jedem $Al^{3+}$ gibt es drei $OH^-$. Daher kann man für die in Lösung befindlichen Ionen die Beziehung $c(Al^{3+}) = \frac 1 3 c(OH^-)$ ansetzen. Außerdem gilt für das gelöste $Al(OH)_3$: $c(Al^{3+}) = c(Al(OH^-)_3)$ und $c(OH^-) = 3 \cdot c(Al(OH^-)_3)$.

Damit kann man das Löslickkeitsprodukt umformen $$K_L = c(Al^{3+}) \cdot ( c(OH^-))^3 = 1,9 \cdot 10^{-33}$$
$$K_L = c(Al(OH)_3) \cdot ( 3 \cdot c(Al(OH)_3) )^3 = 1,9 \cdot 10^{-33}$$
$$K_L = c(Al(OH)_3) \cdot  27 \cdot (c(Al(OH)_3) )^3 = 1,9 \cdot 10^{-33}$$
$$K_L = 27 \cdot (c(Al(OH)_3) )^4 = 1,9 \cdot 10^{-33}$$
$$(c(Al(OH)_3) )^4 = \frac {1,9 \cdot 10^{-33}}{27}$$
$$c(Al(OH)_3) = \sqrt[4]{ \frac {1,9 \cdot 10^{-33}}{27}} = 2,896 \cdot 10^{-9} \frac{mol}{L}$$

Zusammen mit der molaren Masse erhält man $$m = 78 \frac {g}{mol} \cdot 2,896 \cdot 10^{-9} \frac{mol}{L} = 2,259 \cdot 10^{-7} \frac g L = 0,2259 \frac {mg}{L}$$