Thermodynamik Aufgabe 11

3 mol Stickstoff (ideales Verhalten angenommen) werden vom Zustand 1 ($p_1 = 10,0 bar, T_1 = 400 K$) in einen Zustand 2 ($p_2 = 2,0 bar$) gebracht und zwar durch
(I) reversible isothermische Expansion und
(II) durch reversible adiabatische Expansion.

Schätzen Sie die Wärmekapazität aus den Gleichverteilungssatz ab, wobei Schwingungen als nicht angeregt angenommen werden sollen, und berechnen Sie für diese beiden Zustandsänderungen:

a) das Endvolumen $V_2$,
b) die Endtemperatur $T_2$,
c) die am System geleistete Arbeit W,
d) die Änderung der inneren Energie $\Delta U = U_2 - U_1$,
e) die mit der Umgebung ausgetauschte Wärme Q,
f) die Änderung der Enthalpie $\Delta H = H_2 - H_1$,
g) die Änderung der Entropie $\Delta S = S_2 - S_1$.

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Also zunächst die Berechnungen für die reversible isotherme Expansion:

Die Wärmekapazität wird wie folgt abgeschätzt: $C_V =\frac f 2 \cdot R \cdot n$.

Ein Stickstoffmolekül hat 3 TranslationsFG und (weil linear) 2 RotationsFG, SchwingungsFG sollen nicht berücksichtigt werden, also ist die Anzahl der Freiheitsgrade f=5.  Damit berechnet sich die Wärmekapazität wie folgt: $C_V = \frac{f}{2} \cdot R \cdot n \ =\  \frac 5 2 \cdot  8,314 \frac J {K mol} \cdot 3 mol \ =\  62,355 \frac J K$.

a) (gesucht Endvolumen $V_2$):

Zunächst müssen wir das Ausgangsvolumen berechnen. Aus $p \cdot V = n \cdot R \cdot T$ erhalten wir durch Umformung: $V_1 = \frac {n \cdot R \cdot T} {p} = \frac {3 mol \cdot 8,314 \frac J {mol K} \cdot 400 K} {10 \cdot 10^5 Pa} \ =\ 9,977  \cdot 10^{-3} m^3$.

Hieraus berechnen wir mit $p_1 V_1 = p_2 V_2$ das Endvolumen $V_2 = \frac{p_1 V_1}{p_2} \ = \  \frac{10 bar \dot  9,977 \cdot 10^{-3} m^3}{2 bar} \ = \  49,844  \cdot 10^{-3} m^3$.

b) (gesucht Endtemperatur $T_2$):

Wir haben hier eine ISOTHERME Expansion, also bleibt die Temperatur gleich $T_1=400 K = T_2$

c) (gesucht die geleistete Arbeit $W$):

$W_{Vol, rev} = - n \cdot R \cdot T \cdot ln \left( \frac{V_2}{V_1} \right)\ =\ $

$=\ - 3 mol \cdot 8,314 \frac J {K mol} \cdot 400 K \cdot ln \left( \frac{49,844  \cdot 10^{-3} m^3}{9,977  \cdot 10^{-3} m^3} \right) \ = \ - 16048,827 J$

d) (gesucht die Änderung der inneren Energie $\Delta U = U_2 - U_1$):

Hier benötigen wir die Ergebnisse von e) und f): $\Delta U = Q + W = 0$, weil $Q=-W$.

e) (gesucht die mit der Umgebung ausgetauschte Wärme $Q$):

$Q_{isotherm} = - W_{Vol, rev} = n \cdot R \cdot T \cdot ln \left( \frac{V_2}{V_1} \right)\ =\ $.

$=\  3 mol \cdot 8,314 \frac J {K mol} \cdot 400 K \cdot ln \left( \frac{49,844  \cdot 10^{-3} m^3}{9,977  \cdot 10^{-3} m^3} \right) \ = \  16048,827 J$.

f) (gesucht die Änderung der Enthalpie $\Delta H = H_2 - H_1$):

$H = U + p V$ und $\Delta H = \Delta U + \Delta (p V)$.  Da bei einer isothermen Expansion  sich die Temperatur nicht ändert, ändert sich auch $p \cdot V = n \cdot R \cdot T$ nicht. Also ist auch $\Delta (p V) = p_2 V_2 - p_1 V_1 = n \cdot R \cdot T_2 -  n \cdot R \cdot T_1 \ =\  0$.

Also ist  $\Delta H = \Delta U + \Delta (p V) \ =\ 0$, weil ja auch $\Delta U = 0$ ist.

g) (gesucht die Änderung der Entropie $\Delta S = S_2 - S_1$):

Für isotherme Expansion (und Kompression) gilt (egal, ob reversibel oder irreversibel)
$\Delta S = n \cdot R \cdot ln \left( \frac{V_2}{V_1} \right)\ =\  3 mol \cdot 8,314 \frac J {K mol} \cdot ln \left( \frac{49,844  \cdot 10^{-3} m^3}{9,977  \cdot 10^{-3} m^3} \right)\ =\  40,122 \frac J K$

Soweit Teilaufgabe (I) (isotherm reversible Expansion)

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Teilaufgabe (II) reversible adiabatische Expansion, es findet kein Wärmeaustausch mit der Umgebung statt: Q=0.

Für eine reversible adiabatische Expansion gelten teils andere Formeln.  Unter Anderem benötigen wir hier beide Wärmekapazitäten der Gase, die aus der Gaskonstanten R und den Freiheitsgraden des Gases abgeleitet werden.

$C_V = \frac{f}{2} \cdot R \cdot n \ =\  \frac 5 2 \cdot  8,314 \frac J {K mol} \cdot 3 mol \ =\  62,355 \frac J K$ und

$C_p = \frac{f+2}{2} \cdot R \cdot n \ =\  \frac 7 2 \cdot  8,314 \frac J {K mol} \cdot 3 mol \ =\  87,297 \frac J K$.

Weiterhin wird das Verhältnis $\kappa = \frac{C_p}{C_V}\ =\  \frac{f+2}{f}$ benötigt. Mit $f=5$ für Stickstoff ergibt sich $\kappa = \frac 7 5 = 1,4$.

Aus der Zustandsgleichung für ideale Gase erhält man folgende Adiabatengleichungen: $p_1 V_1^{\kappa}=p_2 V_2^{\kappa}$,  $\frac{T_1}{T_2}=\left( \frac{V_2}{V_1} \right)^{\kappa -1}$ und $\frac{T_1}{T_2}=\left( \frac{p_1}{p_2} \right)^{\frac{\kappa -1}{\kappa}}$

https://de.wikipedia.org/wiki/Adiabatische_Zustands%C3%A4nderung

a) (gesucht Endvolumen $V_2$):

Wir berechnen $V_2$ mit Hilfe von $p_1 V_1^{\kappa}=p_2 V_2^{\kappa}$. Durch Umformung erhält man $\frac{p_1 V_1^{\kappa}}{p_2}= V_2^{\kappa}$ und $V_2 = \left( \frac{p_1 V_1^{\kappa}}{p_2} \right)^{\frac 1 {\kappa}}$. 

Durch Einsetzen erhält man $V_2 = \left( \frac{p_1 V_1^{\kappa}}{p_2} \right)^{\frac 1 {\kappa}} \ =\ $ $\left( \frac{10 bar \cdot \left( 9,977  \cdot 10^{-3} m^3 \right)^{1,4} }{2 bar} \right)^{\frac 1 {1,4}} \ =\  31,497 \cdot 10^{-3} m^3$.

b) (gesucht Endtemperatur $T_2$):

Hierfür könnte man beispielsweise $\frac{T_1}{T_2}=\left( \frac{V_2}{V_1} \right)^{\kappa -1}$ verwenden.  Durch Umformen erhält man $T_2 \ =\  \frac{T_1}{\left( \frac{V_2}{V_1} \right)^{\kappa -1}} \ = \  \frac{400 K}{\left( \frac{31,497 \cdot 10^{-3} m^3}{9,977  \cdot 10^{-3} m^3} \right)^{1,4 -1}} \ =\  252,553 K$

c) (gesucht die geleistete Arbeit $W$):

aus https://de.wikipedia.org/wiki/Adiabatische_Zustands%C3%A4nderung oder auch http://www.pci.tu-bs.de/aggericke/PC1/Kap_II/Expansion.htm :

$W = - C_V \cdot \Delta T \ =\  - 62,355 \frac J K \cdot (400 K - 252,553 K)\ =\  - 9194,058 J$

d) (gesucht die Änderung der inneren Energie $\Delta U = U_2 - U_1$):

Aus den gleichen Quellen wie bei (c) erhält man $\Delta U = W = - 9194,058 J$

e) (gesucht die mit der Umgebung ausgetauschte Wärme $Q$):

Bei adiabatischen Vorgängen wird mit der Umgebung keine Wärme ausgetauscht, also ist Q=0.

f) (gesucht die Änderung der Enthalpie $\Delta H = H_2 - H_1$):

$H = U + p V$ und $\Delta H = H_2 - H_1 = (U_2 + p_2 V_2)-(U_1 + p_1 V_1) = \Delta U + (p_2 V_2 - p_1 V_1)$.

$\Delta H =  - 9194,058 J + (2 \cdot 10^5 \frac{Nm}{m^3} \cdot  31,497 \cdot 10^{-3} m^3 \  - \ 10 \cdot 10^5 \frac{Nm}{m^3} \cdot  9,977  \cdot 10^{-3} m^3 ) \ =\  −12871.658 J$.

g) (gesucht die Änderung der Entropie $\Delta S = S_2 - S_1$):

aus http://www.chemgapedia.de/vsengine/vlu/vsc/de/ch/13/vlu/thermodyn/haupts... :

Die Gesamt-Entropieänderung einer reversibel verlaufenden, adiabatischen Volumenänderung ist null.

oder aus der Wikipedia: https://de.wikipedia.org/wiki/Adiabatische_Zustands%C3%A4nderung :

Ob eine adiabatische Zustandsänderung irreversibel oder reversibel ist, hängt davon ab, ob im System während des Vorgangs Entropie erzeugt wird oder nicht. Da keine Wärme mit der Umgebung ausgetauscht wird, kann dem System von außen keine Entropie zugeführt oder entnommen werden. Bei der reversiblen adiabatischen Zustandsänderung bleibt die Entropie des Systems daher konstant.

Und damit deren Änderung =0.