Thermodynamik Aufgabe 12

1,00 mol eines idealen einatomigen Gases lässt man vom Ausgangszustand $T_1 = 300 K$, $p_1 = 1,00 bar$ unter adiabatischen Bedingungen gegen einen konstanten Außendruck $p_a = 0,200 bar$ expandieren, bis sich das Volumen des Gases verdreifacht hat.

Ermitteln Sie für diesen Prozess die folgenden Größen (Wärmekapazität aus Gleichverteilungssatz):

a) die am Gas geleistete Arbeit $W$,
b) die Änderung der inneren Energie $\Delta U$,
c) die Endtemperatur des Gases $T_2$,
d) den Enddruck des Gases $p_2$,
e) die Änderung der Enthalpie $\Delta H$,
f) die Entropieänderung des Gases $\Delta S$.

Hinweis zu f): Zur Lösung zerlegen Sie den Prozess in 2 Teilschritte: (1) Abkühlung bei konstantem Volumen und (2) reversible isotherme Expansion.

Zunächst mal: "gegen einen ... Außendruck" bedeutet immer "irreversibel".

Das Anfangsvolumen ist aus $pV=nRT$ zu berechnen: $V_1=\frac{nRT_1}{p_1}=\frac{1 mol \cdot 8,314 \frac{J}{mol K} \cdot 300K}{1 \cdot 10^5 \frac{N}{m^2}}\ =\  0,024942 m^3$. Da das Endvolumen das dreifache Ausgangsvolumen sein soll, ist $V_2=3 \cdot V_1 = 3 \cdot 0,024942 m^3 \ =\  0.074826 m^3$. Und die Volumenänderung ist $\Delta V = V_2 - V_1 = 0.074826 m^3 - 0,024942 m^3 = 0.049884 m^3$.

Die Wärmekapazitäten aus dem Gleichverteilungssatz: $C_V=n \cdot \frac f 2 \cdot R = 1 mol \cdot \frac 3 2 \cdot 8,314 \frac {J}{mol K} = 12,471 \frac {J}{K}$ und $C_p=n \cdot \frac {f+2} 2 \cdot R = 1 mol \cdot \frac 5 2 \cdot 8,314 \frac {J}{mol K} = 20.785 \frac {J}{K}$, $\kappa=1,66$.

a) die am Gas geleistete Arbeit W:

Nach http://www.pci.tu-bs.de/aggericke/PC1/Kap_II/Expansion.htm ist für eine irreversible adiabatische Expansion: $\Delta W = - p_a \cdot \Delta V \ =\ -  0,2 \cdot 10^5 \frac{N}{m^2} \cdot 0.049884 m^3 \ =\  - 997.68 J$.

b) die Änderung der inenren Energie $\Delta U$:

Ist identisch mit der Arbeit. $\Delta U = - p_a \cdot \Delta V \ =\  - 0,2 \cdot 10^5 \frac{N}{m^2} \cdot 0.049884 m^3 \ =\  - 997.68 J$.

c) die Endtemperatur des Gases $T_2$:

Nach http://www.pci.tu-bs.de/aggericke/PC1/Kap_II/Expansion.htm ist für eine irreversible adiabatische Expansion: $\Delta T = - \frac{p_a \Delta V}{C_V} = - \frac{0,2 \cdot 10^5 \frac{N}{m^2} \cdot 0.049884 m^3}{12,471 \frac {J}{K}} \  = \  - 79.993585117 K \ \approx \  79.994 K$. Damit ist die Endtemperatur $T_2 = 300 K - 79.994 K = 220,006 K$.

d) der Enddruck des Gases $p_2$:

Wir haben ja mittlerweile $T_2$ und $V_2$, da müsste doch $p_2$ mit Hilfe von $pV=nRT$ berechenbar sein. $p_2 = \frac{nRT_2}{V_2} = \frac{1 mol \cdot 8,314 \frac{J}{mol K} \cdot 220,006 K}{0.074826 m^3} = 24445.111111111 \frac N {m^2} = 0.24445 bar$

e) die Änderung der Enthalpie $\Delta H$

In http://www.staff.uni-mainz.de/kolb/lehre/vorlesungen/PCIII/PCIII_Vorlesu... findet man auf Seite 2 unten für eine irreversible adiabatische Expansion: $H_1=H_2$, also ist $\Delta H=0$.

f) die Entropieänderung des Gases $\Delta S$.

Auf jeden Fall nimmt die Entropie zu, aber wie berechnen?

Zur Lösung zerlegen Sie den Prozess in 2 Teilschritte: (1) Abkühlung bei konstantem Volumen (isochor) und (2) reversible isotherme Expansion.

(1) Hierfür kann man http://www.chemgapedia.de/vsengine/vlu/vsc/de/ch/13/vlu/thermodyn/haupts... $\Delta S = C_V ln \frac{T_2}{T_1}$

(2) Für isotherme Expansion (und Kompression) gilt (egal, ob reversibel oder irreversibel)
$\Delta S = n \cdot R \cdot ln \left( \frac{V_2}{V_1} \right)$