Clausius-Clapeyron

Wie erhält man aus der allgemeinen Clausius-Clapeyron Gleichung die integrierte Form für das Verdampfungsgleichgewicht und welche Annahmen werden dabei getroffen?

Allgemeine Form: $\frac{dp}{dT} = \frac{\Delta_{\alpha}^{\beta}H_m}{T \Delta_{\alpha}^{\beta}V_m}$    (1)

Mit $pV = RT$ und damit $V = \frac{RT}{p}$ ersetzen wir in (1) zunächst das Volumen: $\frac{dp}{dT} = \frac{\Delta_{\alpha}^{\beta}H_m}{T \Delta_{\alpha}^{\beta}  \frac{RT}{p} }  =  \frac{\Delta_{\alpha}^{\beta}H_m p}{T   R T } = \frac{\Delta_{\alpha}^{\beta}H_m p}{T^2 R }$

Dann teilen wir beiderseits durch p und multiplizieren beiderseits mit dT: $\frac{dp}{p} = \frac{\Delta_{\alpha}^{\beta}H_m }{T^2 R } dT$.

Jetzt haben wir p nur links und T nur rechts und können jeweils nach p und T integrieren: $\int \frac{dp}{p} =  \int \frac{\Delta_{\alpha}^{\beta}H_m }{T^2 R } dT$.

Wenn wir annehmen, dass $\Delta_{\alpha}^{\beta}H_m$ keine Funktion von T ist, können wir es als Konstante vor das Integral nehmen. R ist sowieso konstant, also können wir schreiben: $\int \frac{dp}{p} = \frac{\Delta_{\alpha}^{\beta}H_m }{R } \int \frac{1 }{T^2 }  dT$.

Integrieren wir: $ {\left[ ln p \right]}_{p_1}^{p_2}  = \frac{\Delta_{\alpha}^{\beta}H_m }{R } {\left[ - \frac 1 T \right]}_{T_1}^{T_2} $

Und setzen ein: $ ln p_2  -  ln p_1  = \frac{\Delta_{\alpha}^{\beta}H_m }{R } \left( - \frac {1}{T_2} - (- \frac{1}{T_1}) \right) $ und formen noch etwas um, so erhalten wir die gewünschte integrierte Form:

$$ ln \left( \frac{p_2}{p_1} \right)  = - \frac{\Delta_{\alpha}^{\beta}H_m }{R } \left(\frac {1}{T_2} - \frac{1}{T_1} \right) $$