Gleichförm. beschl. Bewegung, Beispiel 1

Gegeben: zunächst eine beschleunigte Bewegung: $v_0 = 0$,$v_{Ende}=100 \frac{km}{h}$, $t=10,2s$,  dann eine Verzögerung: auf einer Strecke $s_B=96m$ wird so lange verzögert bis $v=0$.

Gesucht: $a_{Phase 1}, a_{Phase 2}, s_{Phase 1}, t_{Ende Phase 2}$

Phase I (Beschleunigung):

Wir haben eine Endgeschwindigkeit und eine Zeit, daraus kann man mit $a=\frac{\Delta v}{\Delta t}$ die Beschleunigung ausrechnen. Zuvor muss aber die Geschwindigkeit von $\frac{km}{h}$ nach $\frac{m}{s}$ ungerechnet werden.

$100 \frac{km}{h}\ =\  100 \frac{1000 m}{3600 s}\ =\  \frac{100}{3,6} \frac{m}{s}\ =\  27,78 \frac{m}{s}$

Dann rechnen wir die Beschleunigung aus: $a_{Phase 1}\ =\ \frac{\Delta v}{\Delta t}=\ \frac{27,78 m}{s \cdot 10,2 s} \ =\  2,72 \frac{m}{s^2} $

Und die Strecke der Beschleunigungphase: $s_{Phase 1}\ =\ \frac{1}{2} a t^2 \ =\ 2,72 \frac{m}{s^2} \cdot 10,2^2 s^2 \ =\  141 m$

Phase II (Verzögerung):

Zunächst berechnen wir die Verzögerungszeit über $v_{Phase 2}\ =\ a \cdot t$, bzw. $t\ =\ \frac v a \ =\ \frac{27,78 m}{s \ a}$ also $t\ =\ \frac{27,78 m}{s\  a}$

und  $s \ =\ \frac 1 2 a t^2$, bzw.  $96m \ =\ \frac 1 2 a t^2$

Wir haben also 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten (a und t).

Setzen wir t aus der ersten Gleichung in die zweite ein: $96m \ =\ \frac 1 2 a ({\frac{27,78 m}{s^2\  a}})^2 \ =\ \frac 1 2 \frac{27,78^2 m^2 s^2}{s^2\ a} \ =\ \frac{385,9 m^2}{s^2\ a}$. Durch Umformen erhält man a: $a_{Phase 2}\ = \ \frac{385,9 m^2}{s^2\ 96 m} = 4,02 \frac{m}{s^2}$

Nun fehlt noch $t_{Ende Phase 2}$. Dies ist die Summe aus der Beschleunigungszeit (10,2s) plus der Verzögerungszeit, die wir noch ausrechnen müssen. Hierzu bietet sich die Gleichung $t\ =\ \frac v a \ =\ \frac{27,78 m}{s\  a}$ an.

$t_{Phase 2}\ =\ \frac v a \ =\ \frac{27,78 m\ s^2}{s\  4,02 m} \ =\ 6,91 s$. Damit ist der Zeitpunkt $t_{Ende Phase 2}\ =\ t_{Phase 1} + t_{Phase2} \ =\ 10,2 s + 6,91 s \ =\  17,11 s$