Kugel rollt durch ein Tal

Ansatz mit dem Energieerhaltungssatz:

Oben links (Position 1) hat die Kugel sowohl kinetische, als auch potentielle Energie.

$$E_{Gesamt}=E_{kin1}+E_{pot1} = \frac 1 2 m v^2 + m g h = \frac 1 2 \cdot m \cdot (0,8 \frac m s )^2 + m \cdot 9,81 \frac m {s^2} \cdot 1,2 m$$

Diese Energie ist in der Talsohle (Position 2) vollständig in kinetische Energie umgewandelt. Die Geschwindigkeit $v_2$ in Position 2 ist zu berechnen.

$$E_{kin1}+E_{pot1} = E_{kin2}$$

$$\frac 1 2 \cdot m \cdot (0,8 \frac m s )^2 + m \cdot 9,81 \frac m {s^2} \cdot 1,2 m = \frac 1 2 \cdot m \cdot (v_2 )^2$$

Hier kann man wunderbar links und rechts m herauskürzen

$$\frac 1 2 \cdot (0,8 \frac m s )^2 + 9,81 \frac m {s^2} \cdot 1,2 m = \frac 1 2 \cdot (v_2 )^2$$

Und mit 2 multiplizieren

$$(0,8 \frac m s )^2 + 2 \cdot 9,81 \frac m {s^2} \cdot 1,2 m = (v_2 )^2$$

Und Wurzel ziehen

$$v_2 = \sqrt {(0,8 \frac m s )^2 + 2 \cdot 9,81 \frac m {s^2} \cdot 1,2 m} = 4,91772305 \frac m s \approx 4,92 \frac m s$$

An Position 3 (rechts oben) wird aus $E_{kin2}$ wieder potentielle Energie mit einem Teil kinetischer Energie.

$$E_{kin2} = E_{kin3}+E_{pot3}$$

$$ \frac 1 2 \cdot m \cdot (v_2 )^2 = \frac 1 2 m v_3^2 + m g h_3 $$

Auch hier kann man m beiderseits rauskürzen, mit 2 multiplizieren und nach $v_3$ auflösen.

$$ \frac 1 2 v_2^2 = \frac 1 2 v_3^2 + g h_3 $$

$$ v_2 ^2 = v_3^2 + 2 g h_3 $$

$$ v_3 = \sqrt { v_2^2 - 2 g h_3} = \sqrt { (4,92 \frac m s)^2 - 2 \cdot 9,81  \frac m {s^2} \cdot  0,4 m} = 4,044551891 \frac m s \approx 4,05 \frac m s$$