Ph2 WS 14/15

Aufgabe 2, elektrische Felder

Beim eigentlichen Bedrucken des Papiers werden die Farbpartikel ($q = +1\cdot 10^{-10} C$) von einer geladenen Trommel angezogen. Betrachten Sie diese Trommel als geladene Kugel mit Ladung Q = −2.2nC.

(a) Berechnen Sie die Feldstärke E und das Potential φ an der Düse, aus der die Farbpartikel ausgesprüht werden, sowie an der Trommeloberfläche. Wie groß ist die Spannung zwischen Düse und Trommel (Erg.: U = 99V )?

Feldstärke einer geladenen Kugel (r>Kugelradius): $$ \vec E = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\vec r}{r^3} $$ bzw in nicht-vektorieller Form: $$E = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0} \frac{r}{r^3} = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0} \frac{1}{r^2} $$

Potential:  $$\Phi = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0} \frac{1}{r} $$

In der Aufgabe ist nicht explizit Betrag und Richtung gefordert. Außerdem sind die Koordinaten nicht angegeben, also ist ein vektorielles Ergebnis nicht berechenbar.
Skalare Berechnung: $$E = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0} \frac{r}{r^3} \ \ = \ \ \frac{2.2 \cdot 10^{-9} C}{4 \pi 8,8541\cdot 10^{-12} \frac{As}{Vm}} \frac{1}{0.2^2 m^2} \ \ = \ \  494,32 \frac{V}{m}$$

$$\Phi = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0} \frac{1}{r} \ \ = \ \ \frac{2.2 \cdot 10^{-9} C}{4 \pi 8,8541\cdot 10^{-12} \frac{As}{Vm}} \frac{1}{0.2 m} \ \ = \ \  98,86 V$$

Die Spannung zwischen Düse und Trommel beträgt 99V.

(b) Welche Energieform haben die Farbpartikel bei ihrer Ankunft auf der Trommel? Wie groß ist diese Energie? Wie schnell sind die m = 1g schweren Farbpartikel bei der Ankunft auf der Trommel?

Nur so als Bemerkung - Farbpartikel in einem Kopierer mit Masse 1g?  Wer schon mal dieses Toner-Pulver gesehen hat, weiss wie abwegig eine solche Annahme ist.  1 Mikrogramm wäre deutlich näher an der Realität. Aber bleiben wir bei m=1g für diese Aufgabe.

Durchläuft ein Elektron ($q=1,6021 \cdot 10^{-19}C$) eine Spannung von 1V hat es die Energie $1 eV = 1,6021 \cdot 10^{-19} J$.  Ein Farbpartkel mit der Ladung $q = +1\cdot 10^{-10} C$ hat nach dem Durchlaufen von 1V eine Energie von $1\cdot 10^{-10} J$.  Und nach dem Durchlaufen von 99V eine Energie von  $99 \cdot 1\cdot 10^{-10} J = 99  \cdot 10^{-10} J $.

Diese Energie ist kinetische Energie.  Aus $E=\frac{1}{2}mv^2$ erhält man durch Umformung $v=\sqrt{\frac{2E}{m}}$ die zugehörige Geschwindigkeit.

$$v=\sqrt{\frac{2E}{m}} \ \ = \ \  \sqrt{\frac{2 \cdot 99  \cdot 10^{-10} J}{1 \cdot 10^{-3}kg}} \ \ = \ \  0,00445 \frac{m}{s}$$

Aufgabe 3, Induktion

Die Spannungserzeugung erfolgt über eine Spule, deren Strom durch einen Schalter unterbrochen wird. Die Spule hat eine rechteckige Querschnittsfläche von 30mm auf 30mm, eine Länge von 50mm, hat n = 100 Windungen und eine Füllung aus $Fe_{97}Si_3$ mit $\mu_r = 1500$. Berechnen Sie die Induktivität L (Zwischenergebnis: 0.34H). Wird ein Strom von I = 1A durch einen elektronischen Schalter inner-halb t = 10μs geöffnet, entsteht eine Spannung. Berechnen Sie diese Spannung U.

$$ L = \frac{\mu_0 \mu_r N^2 A}{l}  \ \ = \ \  \frac{1,2566 \cdot 10^{-6} \cdot 1500 \cdot  100^2 \cdot (30\cdot 10^{-3})^2}{50\cdot 10^{-3}}  \ \ = \ \  0,339 H$$

$$U_{ind} = -L \dot I(t)  =  -L \frac{\Delta I}{\Delta t}   \ \ =\ \  -0,34 \frac{1 A}{10 \cdot 10^{-6}}   \ \ =\ \  34000 V$$

Aufgabe 4, Leistung, Energie

Um eine Wassermenge von 500l von T = 18C° auf 98C° zu erwärmen, verwenden die Eingeborenen eine elektrische Heizplatte mit U = 230V und I = 15A.
Wie lange dauert dieser Vorgang , wenn die spezifische Wärme von Wasser $c_v=4,18 \frac{kJ}{kg K}$ und die Dichte von Wasser $\rho = 1000 \frac{kg}{m^3}$ beträgt (Zwischenergebnis: δt ≈ 13.5Std)?

Elektrische Leistung $P=U\cdot I = 230 V \cdot 15 A = 3450 W $

Grundgleichung Wäremelehre: $\Delta Q [J] = m [kg] \cdot c [\frac{J}{kg K}] \cdot \Delta T$. Für die Erwärmung von 500l Wasser um 98-18 = 80K wird also die Energie $\Delta Q [J] = 500 kg \cdot 4,18 \cdot 10^3 \frac{J}{kg K} \cdot 80 K = 167,2\cdot 10^6 J$ benötigt.

Umrechnung: 1 J ist 1Ws, also wenn die Leistung von 1 Watt eine Sekunde lang wirkt, ist eine Energie von 1 J erbracht.

$  Energie = Leistung \cdot Zeit $, also $t = \frac{Energie}{Leistung} = \frac{167,2\cdot 10^6 J}{3450 W} = 48464s \approx  13,46 h$

Die Erwärmung dauert ca. 13,5h.

Aufgabe 5, Linsen, geometr. Optik

Für eine entsprechende Rechnung nehmen wir an, dass ein Gegenstand durch eine Sammellinse auf eine weiße Wand abgebildet wird . Die Bildweite beträgt |b| = 1m, die Gegenstandsweite |g| = 0.5m. Die linke Seite $r_1$ der Linse ist eben, der Brechungsindex sei n = 1.5. Der Gegenstand ist 0.2m groß. Berechnen Sie die Brennweite f (Zwischenergebnis f = 0.33m), die Krümmungen der Linse und die Größe des Bildes.
Skizzieren Sie mit allen konstruktionswichtigen Strahlen.

Linsengleichung: $$\frac{1}{f}=(n-1)\left( \frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2} \right)$$  Abbildungsgleichung: $$\frac{1}{f}= \frac{1}{b}-\frac{1}{g} $$

Aus der Abbildungsgleichung errechnet sich (mit b=1m und g=-0,5m) in dieser Aufgabe die Brennweite:

$$\frac{1}{f}= \frac{1}{b}-\frac{1}{g} \ \  = \ \   \frac{1}{1m}-\frac{1}{-0,5m} \ \  = \ \  3 \frac{1}{m}  $$

$$f =  \frac{1}{3}  m  =\approx 0,33m $$
Damit gehen wir in die Linsengleichung. Die ebene Seite der Linse wird durch $r_1=\inf$, also $\frac{1}{r_1}=0$ beschrieben.

$$\frac{1}{ \frac{1}{3} }=(1,5-1)\left( 0 -\frac{1}{r_2} \right)$$  und lösen nach $r_2$ auf.

$$3 = \frac{1}{2} \left(  -\frac{1}{r_2} \right)$$ $$6 =   -\frac{1}{r_2}$$ $$r_2 = - \frac{1}{6}m$$

Zwischen Bildgröße B, Bildweite b, Gegenstandsgröße G und Gegenstandsweite g besteht die Beziehung $\frac{B}{G} = \frac{b}{g}$.  Hier ist B gesucht, also $B = \frac{b}{g} \cdot G \ \ =\ \ \frac{1}{0,5} \cdot 0,2 m \ \ =\ \ 2 \cdot 0,2 m \ \ =\ \ 0,4m$.