Aufgabe zur Solarkonstante

a, Teil 1) Warum ist die eingestrahlte Strahlung proportional zu $\frac{1}{r^2}$?

Dazu brauchen wir erst mal die Formel für die Kugeloberfläche. Die ist für einen bestimmten Radius r:  $$A=4 \pi r^2$$. Wenn aus dem Mittelpunkt einer Kugel eine bestimmte Energie $E_{Gesamt}$ in alle Richtungen ausgestrahlt wird, verteilt sich diese auf die Oberfläche der Kugel A. Auf einer Flächeneinheit der Kugeloberfläche kommt also die Energie $E_{Flächeneinheit}=\frac {E_{Gesamt}}{A} = \frac {E_{Gesamt}}{4 \pi r^2} = \frac {1}{r^2} \cdot \frac {E_{Gesamt}}{4 \pi}$ an. 
Wie man an der letzten Formel sehen kann, ist also die $E_{Flächeneinheit}$ abhängig von $\frac{1}{r^2}$, was zu zeigen war.

a, Teil 2) Wie groß ist die Differenz der einfallenden Leistung pro Fläche zwischen Perihel und Aphel der Erdbahn?

Also bei einem mittleren Bahnradius Erde-Sonne $r_{mittel}=149,6 \cdot 10^9m$ haben wir eine Solarkonstante $J_0=1367\frac{W}{m^2}$ (wie in der Aufgabe gegeben).

Betrachten wir nun nochmals die Formel von Teil 1: $E_{Flächeneinheit} = \frac {1}{r^2} \cdot \frac {E_{Gesamt}}{4 \pi}$. Ändert man den Radius um das x-fache, wird daraus $E_{Flächeneinheit, x-facher Radius} = \frac {1}{x^2 \cdot r^2} \cdot \frac {E_{Gesamt}}{4 \pi} = \frac {1}{x^2} \frac{1}{r^2} \cdot \frac {E_{Gesamt}}{4 \pi} = \frac {1}{x^2} \cdot  E_{Flächeneinheit, 1-facher Radius}$.

Ändert sich also der Radius um das x-fache, ändert sich die einfallende Energie pro Flächeneinheit (die Solarkonstante) um das $\frac{1}{x^2}$-fache.

Für den Perihel wäre das $x = \frac {r_{Perihel}}{r_{mittel}} = \frac {152,1 \cdot 10^9m}{149,6 \cdot 10^9m} = 0.98328877 \approx 0.983$. Die Solarkonstante ändert sich also um das $\frac{1}{x^2} = \frac{1}{0.983^2} = 1.034887078 \approx 1,0349$-fache, bzw. steigt um 3,49%.
Anstatt $J_0=1367\frac{W}{m^2}$ haben wir im Perihel eine Solarkonstante von $J_{Perihel}=1367\frac{W}{m^2} \cdot 1,0349 = 1414,7083$ also $47,7083\frac{W}{m^2}$ mehr als im Mittel.

Entsprechend für den Aphel ist das $x = \frac {r_{Aphel}}{r_{mittel}} = \frac {147,1 \cdot 10^9m}{149,6 \cdot 10^9m} = 1.01671123 \approx 1.017$. Die Solarkonstante ändert sich also um das $\frac{1}{x^2} = \frac{1}{1.017^2} = 0.966847757 \approx 0,9668$-fache, bzw. sinkt um $1 - 0,9668 = 0,0332$, also um 3,32%.
Anstatt $J_0=1367\frac{W}{m^2}$ haben wir im Aphel eine Solarkonstante von $J_{Aphel}=1367\frac{W}{m^2} \cdot 0,9668 = 1321.6156$ also $45.3844\frac{W}{m^2}$ weniger als im Mittel.

Diese Ergebnisse passen auch zu den Angaben der Schwankungen in Wikipedia (https://de.wikipedia.org/wiki/Solarkonstante#Festlegung_und_jahreszeitli...).

b) Sonne über dem Äquator, im Vergleich dazu bei 45°N

Hierzu eine kleine Skizze:

Am Äquator fällt die Sonneneinstrahlung senkrecht auf die (dick schwarz gezeichnete) Fläche. Bei 45°N fällt auf eine gleich große Fläche (wieder dick schwarz) weniger ein und zwar nur die Energiemenge, die durch die grau gezeichnete Fläche durchtritt.
Um die Größe dieser Fläche zu berechnen brauchen wir etwas Trigonometrie. Laut Definition ist im rechtwinkligen Dreieck $cos \alpha = \frac {Ankathete}{Hypothenuse}$. Übertragen auf die Situation hier gilt: $cos 45° = \frac {graue Fläche}{schwarze Fläche}$, bzw. $cos 45° \cdot schwarze Fläche = graue Fläche$.

$cos 45° = 0,7071$, also erhält die schwarze Fläche bei 45°N nur etwa das 0,7-fache (=70%) der Einstrahlung (Energiemenge), die die gleich große schwarze Fläche am Äquator erhält.

c) Sonne senkrecht über 23,5°N bzw S

Auch hierzu wieder eine Skizze, zunächst für 23,5°N (Sommer):

Wie in Teilaufgabe b) fällt bei 45°N weniger Energie auf die Erdoberfläche als bei 23,5°N bei dort senkrechtem Sonnenstand.  Der Faktor, um den bei 45°N weniger Energie einfällt kann wie in Teilaufgabe b) mit $cos 22,5° = 0,9239$, also 92,39% angegeben werden. Das sind 7,61% weniger Einstrahlung als bei 23,5°N.

Für senkrechten Sonneneinfall bei 23,5°S (Winter) gilt entsprechend:

bzw.

Wie zuvor fällt bei 45°N weniger Energie auf die Erdoberfläche. Der Faktor ist in diesem Fall $cos 68,5° = 0,3665$, also 36,65%. Das sind 63,35% weniger Einstrahlung als bei 23,5°S.

Im Vergleich zur maximal möglichen Einstrahlung erhält bei 45°N die Oberfläche im Sommer 7,61% und im Winter 63,35% weniger Sonneneinstrahlung

d) Was bewirkt mehr? Perihel/Aphel oder die Neigung der Erdachse?

Für eine Position bei 45°N betragen die durch die Exzentrizität (Perihel/Aphel) bedingten Einstrahlungsschwankungen von +3,49% bis -3,32% deutlich weniger als die durch die Neigung der Erdachse von 23,5° gegenüber der Bahnebene verursachten Schwankungen von -7,61% zu -63,35%.

Der dominierende Faktor ist also die Neigung der Erdachse.