Barometrische Höhenformel für die Marsatmosphäre

verwendete Links:
http://systemdesign.ch/wiki/Barometrische_H%C3%B6henformel
http://www.spektrum.de/lexikon/geowissenschaften/statische-grundgleichun...

Aufgabe 3

gegeben: Druck am Marsboden $p_{0,s}=7~hPa = 700 Pa$, Zusammensetzung der Atmosphäre $95,7\% ~CO_2,~ 2,7\%~ N_2,~ 1,6\%~ Ar$, Beschleunigung konstant $g_s=3,69 \frac{m}{s^2}$, mittlere Bodentemperatur $T_s = -33°C~ (= 240,15~ K)$

(a1) Herleitung Druckabfall (abh. von der Höhe) für homogene Atmosphäre allgemein

Zur Herleitung soll die hydrostatische Grundgleichung und die allgemeine Gasgleichung verwendet werden. In einer "homogenen Atmosphäre" ist die Dichte überall gleich.
http://www.am.rlp.de/Internet/global/themen.nsf/0/478f7de3b6447e20c1256f...
http://www.spektrum.de/lexikon/geowissenschaften/homogene-atmosphaere/7066

Die hydrostatische Grundgleichung ist: $$dp = - \rho \cdot g_s \cdot dh$$
wobei $dp$ die kleine Druckänderung ist, die sich ergibt, wenn sich die Höhe um $dh$ ändert. Das Minus soll verdeutlichen, dass der Druck abnimmt, wenn die Höhe zunimmt. $\rho$ (rho) bezeichnet die Dichte der Atmosphäre und $g_s$ die "Marsbeschleunigung", also das was auf der Erde $g_e=9,81 \frac{m}{s^2}$ ist.

Die allgemeine Gasgleichung kennt man üblicherweise in der Form: $p \cdot V = n \cdot R \cdot T$ mit Druck $p$ (in Pa = Pascal = Newton/m²), Volumen $V$ (in m³), Stoffmenge $n$ (in mol), der Gaskonstanten $R$ und der Temperatur $T$ (in Kelvin).

Für unsere Zwecke müssen wir etwas umformen:
$$p \cdot V = n \cdot R \cdot T \quad \quad |~ beide~Seiten~ durch~ Masse~ m~ teilen$$   $$\frac{p \cdot V}{m} = \frac {n \cdot R \cdot T}{m} \quad \quad |~ linker~ Bruch~ durch~ V~ kürzen$$   $$\frac{p}{\frac m V} = \frac {n \cdot R \cdot T}{m} \quad \quad |~ \frac m V  ~ist~ Dichte~ \rho$$    $$\frac{p}{\rho} = \frac {n \cdot R \cdot T}{m} \quad \quad |~ rechte~Seite~durch~n~kürzen$$   $$\frac{p}{\rho} = \frac {R \cdot T}{\frac m n} \quad \quad |~ \frac m n ~ist~molare~Masse~\hat m$$   $$\frac{p}{\rho} = \frac {R \cdot T}{\hat m}$$
wobei für Masse und Stoffmenge die entsprechenden Mischgrößen der Atmosphäre eingesetzt werden müssen.

Wir lösen diese Gasgleichung nach der Dichte $\rho$ auf: $$\frac{p}{\rho} = \frac {R \cdot T}{\hat m} \quad \quad |~  auf~beiden~Seiten~Kehrwert~nehmen$$   $$\frac{\rho}{p} = \frac{\hat m}{R \cdot T} \quad \quad |~  auf~beiden~Seiten~mal~p$$   $$\rho = \frac{p \cdot \hat m}{R \cdot T}$$ Dies wird nun in die obige hydrostatische Grundgleichung eingesetzt:  $$dp = - \rho \cdot g_s \cdot dh$$    $$dp = - \frac{p \cdot \hat m}{R \cdot T} \cdot g_s \cdot dh \quad \quad |~ auf~ beiden~ Seiten~durch~p~teilen$$      $$\frac{dp}{p} = - \frac{\hat m \cdot g_s}{R \cdot T} \cdot dh \quad \quad \quad |~ dies~ist~eine ~Differentialgleichung$$
Was hat uns diese ganze Umformerei gebracht? Wir haben die sogenannte "Separation der Variablen" erreicht. Links steht alles, was mit dem Druck $p$ zu tun hat (also $p$ und $dp$) und rechts alles was mit der Höhe $h$ zu tun hat (also $dh$). Weiterhin ist üblicherweise auch die Temperatur $T$ höhenabhängig also verwenden wir $T(h)$. Der Rest auf der rechten Seite wird als konstant, bzw. unabhängig von $p$ und $h$ betrachtet. Weil die "Variablen separiert" sind, können wir die Differentialgleichung durch Integration lösen:
$$\int {\frac{dp}{p}} = \int { - \frac{\hat m \cdot g_s}{R \cdot T(h)} \cdot dh} \quad \quad |~umformen~und~Konstantes~vor~das~Integral$$   $$\int_{p_0}^{p} {\frac{1}{p} dp} = - \frac{\hat m \cdot g_s}{R} \int_0^h \frac{1}{T(h)} {dh}$$
Auf der linken Seite kann man das Integral ausrechnen - die Stammfunktion von $\frac 1 x$ ist $ln(x)$. Rechts kann man zumindest das Minuszeichen wegkriegen mit Hilfe von $\int_a^b = - \int_b^a$:
$$ln(p)-ln(p_0) = ln(\frac{p}{p_0}) = \frac{\hat m \cdot g_s}{R} \int_h^0 \frac{1}{T(h)} {dh}$$   $$ln(\frac{p}{p_0}) = \frac{\hat m \cdot g_s}{R} \int_h^0 \frac{1}{T(h)} {dh}$$   $$\frac{p}{p_0} = e^{ \frac{\hat m \cdot g_s}{R} \int_h^0 \frac{1}{T(h)} {dh}}$$   $$p = p_0 \cdot e^{ \frac{\hat m \cdot g_s}{R} \int_h^0 \frac{1}{T(h)} {dh}}$$

Die Temperatur T variiert in komplizierter und kaum vorhersagbarer Weise mit der Höhe. Es müssen daher vereinfachende Annahmen über den Temperaturverlauf T(h)  getroffen werden. Beispielsweise: T ist überall gleich (=isotherme Atmosphäre, unabhängig von h). Oder: T ist eine lineare Funktion der Höhe (=linearer Temperaturgradient).

(a2) Was muss für den Mars angepasst werden? Welche Werte gelten für den Mars?

• Der Mars hat eine andere Atmosphäre, daher muss die mittlere molare Masse der Marsatmosphäre bestimmt werden. Dazu benötigt man die molaren Massen der Bestandteile ($M_{CO_2}=44\frac{g}{mol},~ M_{N_2}=14\frac{g}{mol}, M_{Ar}=39,95\frac{g}{mol}$
  ${\hat m}_{Marsatmosphäre} ~=~ 0,95\cdot 44\frac{g}{mol} + 0,027 \cdot 14\frac{g}{mol} + 0,016 \cdot 39,95\frac{g}{mol} ~=~  42.8172 \frac{g}{mol}$
  
  
• Die "Erdbeschleunigung" ist geringer als auf der Erde: $g_s=3,69 \frac{m}{s^2}$ statt $g_e=9,81 \frac{m}{s^2}$.
  
  
• Der mittlere Druck "auf Meereshöhe" $p_0$ ist auf dem Mars niedriger als auf der Erde. $p_{0,Mars}=7 hPa$ statt $p_{0,Erde}=1013,25 hPa$ (Standardatmosphäre).
  
  
• Die Temperaturverteilung mit der Höhe $T(h)$ ist anders als auf der Erde, aber dafür werden ja Annahmen getroffen (isotherme Atmosphäre oder linearer Temperaturgradient).
  
  
• Die Gaskonstante $R$ ist "planetenunabhängig", sie muss also nicht angepasst werden.

(a3) Barometr. Höhenformel für (1) isotherme Atmosphäre, (2) bei linearem Temp-Gradienten

Zunächst für die Isotherme Atmosphäre:

Kehren wir zurück zur vorherigen Integralgleichung: $$\int_{p_0}^{p} {\frac{1}{p} dp} = - \frac{\hat m \cdot g_s}{R} \int_0^h \frac{1}{T(h)} {dh}$$

In dieser Modell-Atmosphäre ist die Temperatur überall gleich: $T(h) = T(h_{0,Mars}) = 240,15K$

Damit vereinfacht sich die Integralgleichung: $$\int_{p_0}^{p} {\frac{1}{p} dp} = - \frac{\hat m \cdot g_s}{R \cdot T(h_0)} \int_0^h {dh}$$   $$ln(\frac{p}{p_0}) = - \frac{\hat m \cdot g_s}{R \cdot T(h_0)} \cdot h$$   $$\frac{p}{p_0} = e^{- \frac{\hat m \cdot g_s}{R \cdot T(h_0)} \cdot h}$$   $$p = p_0 \cdot e^{- \frac{\hat m \cdot g_s}{R \cdot T(h_0)} \cdot h}$$

Dies ist die barometrische Höhenformel für die Isotherme Atmosphäre.

Für die Werte an der Marsoberfläche haben wir $$p = 700 Pa \cdot e^{- \frac{0,0428172 \frac{kg}{mol} \cdot 3,69 \frac{m}{s^2}}{8,314 \frac{J}{mol~K} \cdot 240,15 K} \cdot h} = 700 Pa \cdot e^{- 0,000079132 \cdot h}$$

Dann für den Linearen Temperaturgradienten:
(siehe auch https://de.wikipedia.org/wiki/Barometrische_H%C3%B6henformel#Herleitung_2)

Im Wikipedia Artikel ist die Herleitung detailliert angegeben, so dass ich das hier nicht wiederhole, sondern nur das Ergebnis (in der Nomenklatur dieser Aufgabe) angebe. Temperaturgradient Mars: $\gamma_s = 6,5 \frac{K}{km} = 0,0065 \frac{K}{m}$

$$p(h_1) = p(h_0) \cdot \left(1 - \frac{\gamma_s \cdot \Delta h}{T(H_0)} \right)^{\frac{\hat m g_s}{R \gamma_s}}$$ oder mit den eingesetzten Werten: $$p(h) = 700 Pa \cdot \left( 1 - \frac{0,0065 \frac{K}{m} \cdot  h}{240,15 K} \right)^{\frac{0,0428172 \frac{kg}{mol} \cdot  3,69 \frac{m}{s^2}}{8,314 \frac{J}{mol~K} \cdot 0,0065 \frac{K}{m}}} = 700 Pa \cdot \left( 1 - \frac{0,0065 \frac{K}{m} \cdot  h}{240,15 K} \right)^{2,9236}$$

(b) Zeichne Diagramm Druckverlauf (homogen, isotherm, linearer Gradient)

(c) wie (b) für die Erde, vergleiche mit (b)

Für die Erdatmosphäre gelten dieselben allgemeinen Formeln. nur werden kier die entsprechenden Konstanten für die Erde eingesetzt (Standardatmosphäre, $p_0=1013,25~hPa,~T_0 = 15°C = 288,15 K,~ g=9,81 \frac{m}{s^2}$. Die mittlere molare Masse ist $\hat m = 28,96 \frac{g}{mol} = 0,02896 \frac{kg}{mol}$.

Isotherme Atmosphäre: $$p = 101325 Pa \cdot e^{- \frac{0,02896 \frac{kg}{mol} \cdot 9,81 \frac{m}{s^2}}{8,314 \frac{J}{mol~K} \cdot 288,15 K} \cdot h} = 101325 Pa \cdot e^{- 0,000118588 \cdot h}$$

Atmosphäre mit linearem Gradienten:  $$p(h) = 101325 Pa \cdot \left( 1 - \frac{0,0065 \frac{K}{m} \cdot  h}{288,15 K} \right)^{\frac{0,02896 \frac{kg}{mol} \cdot  9,81 \frac{m}{s^2}}{8,314 \frac{J}{mol~K} \cdot 0,0065 \frac{K}{m}}} = 101325 Pa \cdot \left( 1 - \frac{0,0065 \frac{K}{m} \cdot  h}{288,15 K} \right)^{5,2571}$$

Wie man (wegen der unterschiedlichen Skalen) nicht so leicht erkennen kann, ist der Druckgradient auf der Erde steiler. Zur Verdeutlichung nochmals beide Datensätze in einem Diagramm: