Met Übungsblatt 10

Aufgabe 1

Teil a)

Was ist die Vortizität und warum ist diese Größe wichtig für die Betrachtung einer planetaren Welle?

Vortizität (auch als Wirbelstärke bezeichnet) kann als die Tendenz eines Luftelements um eine Achse beschrieben werden. Die Wirbelstärke ist definiert als die Rotation der Geschwindigkeit u → {\displaystyle {\vec {u}}} :    (aus https://de.wikipedia.org/wiki/Wirbelstärke , dort finden sich noch mehr Details)

In der Meteorologie wird mit der Vortizität hauptsächlich die Rotation von Luft um eine Achse beschrieben. Die absolute Vortizität eines Volumenelements oder eines Körpers in der Meteorologie setzt sich aus zwei Summanden zusammen, der planetaren und der relativen Vortizität:

Aufgrund der Erddrehung erfährt jeder Körper in Erdnähe eine Rotation um die Erdachse und besitzt somit eine feste Vortizität. Diese wird durch den breitengradabhängigen Coriolisfaktor   

bestimmt und als planetare Vortizität bezeichnet. Die relative Vortizität ist die mit der Eigendrehung des Körpers zusammenhängende Größe. Addiert ergibt sich die absolute Vortizität:

Da in der Meteorologie meist zweidimensionale Strömungsfelder auftreten, wird die relative Vortizität oft durch die Rotation in zwei Dimensionen ausgedrückt:

Damit ergibt sich für die absolute Vortizität

Eine Planetare Welle (auch Rossby-Welle) ist eine großräumige Wellenbewegung in der Erdatmosphäre. (https://de.wikipedia.org/wiki/Rossby-Welle)

(auch http://www.wetteran.de/grundlagen/was-ist-vorticity und https://www.synoptische-meteorologie.de/meteorologische-grundlagen/plane...)

Also ich finde bis jetzt Erklärungen, die plausibel zu sein scheinen, aber verstehen tu ich das kaum

Teil b

Die Absolute Vortizität bleibt erhalten (= planetare Vort. + relative Vort).  Anfänglich (bei 30°N) ist die rel. Vort. $5 \cdot 10 rsup {-5} \frac 1 s$. Wie hoch ist die rel. Vort bei 90°N?

Die planet.Vort ist Breitengradabhängig. Sin 30° ist 0,5, sin 90° ist 1.  Die planet. Vort verdoppelt sich also. Wenn die AbsVort gleich bleiben soll, muss dir rel.Vort um so viel abnehmen, wie die planet.Vort zunimmt.

Planet-Vort bei 30°N =

Aufgabe 2

Teil a)

Potentielle Vorticity: $PV = (\xi_0 + f)(-g \frac{\partial \Theta}{\partial p})$

Hierbei ist

• $\xi_0 (xi_0)$ die relative Vorticity, die die Eigendrehung einer Luftmasse beschreibt,
• $f$ der breitengradabhängige Coriolisfaktor, auch planetare Vorticity genannt,
• $-g$ die negative Erdbeschleunigung,
• $\frac{\partial \Theta}{\partial p})$ die partielle Ableitung der potentiellen Temperatur (Theta) nach dem Druck p, also die Änderung der potentiellen Temperatur bei kleinen Änderungen des Drucks. 

$PV$ beschreibt die Scherung (auch Schubverzerrung) in einer Strömung in dem die Erhaltung der Vorticity mit der Änderung der potentiellen Temperatur in Abhängigkeit vom Druck kombiniert wird.

Teil b)

Also, wenn wie abgebildet ein Berg von Ost nach West überströmt wird kann es zu einer Föhnerscheinung auf der Westseite kommen, wenn auf der Ostseite die Luftmassen durch den Aufstieg abgekühlt werden, die Feuchtigkeit teilweise in Wolken auskondensiert und Staubewölkung bildet.  Beim Abstieg erwärmen sich die Luftmassen wieder und haben dann eine geringere relative Luftfeuchte.

Aber ob das hier in der Frage das Thema ist, glaube ich eher nicht, weil es ja um den Betrag der relativen Vorticity (Wirbelstärke) $\xi$ geht, der sich vermutlich ändert.

Man kann sich vorstellen, dass die bodennahen Luftmassen, die im Osten den Hang hinauf strömen, etwas verlangsamt werden, während die höheren Luftmassen weniger abgebremst werden, was nach dem Überströmen der Bergspitze auf der Westseite zu einem Rotor (horizontale Drehachse) führen kann.

Wenn auf der Ostseite $\xi=0$ ist, hat sich das sich das auf der Westseite vermutlich aufgrund eines Erhaltungsgesetzes geändert. Wenn sich die relative Vorticity ändert, muss sich dann etwas anderes entsprechend ändern, damit der Erhaltungssatz erfüllt ist - vielleicht wird die Luftmasse nach Norden oder Süden abgelenkt?

Aufgabe 3

Teil a)

Wie kann ${\vec v}_g = \frac{1}{\rho f} (\vec k \times \vec \nabla p)$ in ${\vec v}_g = \frac{1}{f} (\vec k \times \vec \nabla \Phi)$ umgeformt werden? Hinweis: Geopotential $\Phi = gz$.

Ich ahne, dass wenn man die Dichte $\rho$ in die Klammer mit dem Kreuzprodukt reinnimmt und das Kreuzprodukt ausformuliert, dass dann dabei das gewünschte irgendwie entsteht - probieren wir es mal:

$${\vec v}_g = \frac{1}{\rho f} (\vec k \times \vec \nabla p) \quad \quad | \quad Vektoren\ explizit\ schreiben$$
$${\vec v}_g = \frac{1}{\rho f} (\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} \frac {\partial p}{\partial x}\\ \frac {\partial p}{\partial y} \\ \frac {\partial p}{\partial z} \end{pmatrix} ) \quad \quad | \quad Kreuzprodukt\ ausrechnen$$
$${\vec v}_g = \frac{1}{\rho f} (\begin{pmatrix} 0 \cdot \frac {\partial p}{\partial z} - 1 \cdot \frac {\partial p}{\partial y} \\ 1 \cdot \frac {\partial p}{\partial x} - 0 \cdot \frac {\partial p}{\partial z} \\ 0 \cdot  \frac {\partial p}{\partial y} - 0 \cdot \frac {\partial p}{\partial x} \end{pmatrix} ) \quad \quad | \quad Zusammenfassen$$
$${\vec v}_g = \frac{1}{\rho f} (\begin{pmatrix}  - \frac {\partial p}{\partial y} \\ \frac {\partial p}{\partial x} \\ 0 \end{pmatrix} ) \quad \quad | \quad \rho\ in \ den\ Vektor\ nehmen$$
$${\vec v}_g = \frac{1}{f} (\begin{pmatrix}  - \frac {1}{\rho}\frac {\partial p}{\partial y} \\ \frac {1}{\rho} \frac {\partial p}{\partial x} \\ 0 \end{pmatrix} ) \quad \quad | \quad \rho\ in \ den\ Vektor\ nehmen$$

Betrachten wir die andere Gleichung ebenso:
$${\vec v}_g = \frac{1}{f} (\vec k \times \vec \nabla \Phi) \quad \quad | \quad Vektoren\ explizit\ schreiben$$
$${\vec v}_g = \frac{1}{f} (\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} \frac {\partial \Phi}{\partial x}\\ \frac {\partial \Phi}{\partial y} \\ \frac {\partial \Phi}{\partial z} \end{pmatrix} ) \quad \quad | \quad \Phi=gz\ einsetzen$$
$${\vec v}_g = \frac{1}{f} (\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} \frac {\partial gz}{\partial x}\\ \frac {\partial gz}{\partial y} \\ \frac {\partial gz}{\partial z} \end{pmatrix} ) \quad \quad | \quad ableiten$$
$${\vec v}_g = \frac{1}{f} (\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ g \end{pmatrix} ) \quad \quad | \quad Kreuzprodukt\ ausrechnen$$
$${\vec v}_g = \frac{1}{f} (\begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix}$$

Dieser Ausdruck ist aber Unfug. Nein - mit diesem Ansatz kriege ich das nicht raus, sorry.

Teil b)

$${\vec v}_g = \frac{1}{f} (\vec k \times \vec \nabla \Phi) \quad \quad | \quad Vektoren\ explizit\ schreiben$$
$${\vec v}_g = \begin{pmatrix} u_g\\v_g\\ 0 \end{pmatrix} = \frac{1}{f} (\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} \frac {\partial \Phi}{\partial x}\\ \frac {\partial \Phi}{\partial y} \\ \frac {\partial \Phi}{\partial z} \end{pmatrix} ) \quad \quad | \quad Kreuzprodukt\ ausrechnen$$
$$\begin{pmatrix} u_g\\v_g\\ 0 \end{pmatrix} = \frac{1}{f} (\begin{pmatrix} 0  \cdot \frac {\partial \Phi}{\partial z} - 1 \cdot \frac {\partial \Phi}{\partial y}\\1 \cdot \frac {\partial \Phi}{\partial x} - 0 \cdot \frac {\partial \Phi}{\partial z}\\ 0 \cdot \frac {\partial \Phi}{\partial y} - 0 \cdot \frac {\partial \Phi}{\partial x} \end{pmatrix}  ) \quad \quad | \quad Zusammenfassen$$
$$\begin{pmatrix} u_g\\v_g\\ 0 \end{pmatrix} = \frac{1}{f} (\begin{pmatrix} - \frac {\partial \Phi}{\partial y}\\ \frac {\partial \Phi}{\partial x} \\ 0 \end{pmatrix}  ) \quad \quad | \quad $$

Also ist $$u_g = - \frac{1}{f} \frac {\partial \Phi}{\partial y}$$ und $$v_g = \frac{1}{f} \frac {\partial \Phi}{\partial x}$$

Teil c)

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