Aufgabe 10, Elektrolyse

Aufgabe:

Bei der Elektrolyse einer wässrigen NaCl-Lösung wird Chlor bei einer Badspannung von 7,35V durch 5,20 kWh mit einer Stromausbeute von 88,2% abgeschieden. Welches Volumen nimmt das trockene Gas bei 23°C und 1045mbar ein?

Lösungsversuch:

Zunächst benötigen wir mal die dazu passenden Naturgesetze. Gehen wir die Aufgabe mal von hinten nach vorn durch. Für das Volumen bei enem bestimmten Druck und Temperatur dürfte die allgemeine Gasgleichung $pV=nRT$ hilfreich sein. Dazu benötigen wir aber die Stoffmenge, die wir aus den übrigen Angaben ermitteln müssen. Nach dem ersten Faradayschen Gesetz ist die entstehende Stoffmenge proportional zur geflossenen Ladungsmenge: $Q = I \cdot t = z \cdot F \cdot n$, mit der Anzahl z an Elektronen für ein Molekül des Produkts und der Faradaykonstante $F = 96485 \frac{A \cdot s}{mol}$.

Jetzt fehlt noch der erste Schritt, wie man von der angegebenen Spannung $U=7,35V$ und der angegebenen Arbeit $W=5,20kWh$ auf eine Ladungsmenge $Q$ kommt.

Definitionsgemäß ist Strom Ladung pro Zeit, also $I = \frac Q t$, also ist $Q=I \cdot  t$.  Und Leistung ist Arbeit pro Zeit, also $P = \frac W t$ oder umgeformt $W=P \cdot t$. Elektrische Leistung ist $P = U \cdot I$. Also ist elektrische Arbeit $W_{el} = U \cdot I \cdot t$. Dies löst man nach $I$ auf: $I = \frac{W}{U \cdot t}$.

Damit können wir die Ladungsmenge ausrechnen: $Q=I \cdot  t = \frac{W}{U \cdot t} \cdot t = \frac{W}{U}$.  In unserem konkreten Fall haben wir $Q=\frac{W}{U}=\frac{5,2 \cdot 10^3 \cdot V \cdot A \cdot 3600 s}{7,35 V} = 2,5469 \cdot 10^6 A \cdot s = 2,5469 \cdot 10^6 Coulomb$.

Nun nehmen wir das 1. Faradaysche Gesetz $Q = z \cdot F \cdot n$ und bestimmen daraus die Stoffmenge $n = \frac{Q}{z \cdot F}$. Um ein Molekül des Produkts $Cl_2$ aus den Chlorid-Ionen $Cl^-$ der Lösung zu erhalten, benötigt man 2 Elektronen, also ist $z=2$. $$n = \frac{Q}{z \cdot F} = \frac{2,5469 \cdot 10^6 A \cdot s}{2 \cdot 96485 \frac{A \cdot s}{mol}} = 13,1986 \  mol$$

Welches Volumen nimmt diese Stoffmenge bei den angegebenen Bedingungen ein?  Aus $pV=nRT$ erhält man $$V=\frac{nRT}{p}=\frac{13,1986 \  mol \cdot 8,314 \frac{J}{mol \cdot K} \cdot 296 K}{1,045 \  bar}=$$
$$V = \frac{13,1986 \  mol \cdot 8,314 \frac{kg \cdot m^2}{s^2 \cdot mol \cdot K} \cdot 296 K}{1,045 \cdot 10^5 \frac{kg}{m \cdot s^2}}=0,3108 m^3 = 310,8 L$$

Da wir aber nur eine Ausbeute von 88,2% haben ist das erhaltene Volumen $V = 310,8 \cdot 0,882 = 274,1 L$.