Aufgabe 130

Geschoß 10g, trifft ballistisches Pendel 2kg, l=2m. Dies wird 30cm ausgelenkt.

Berechne v(Geschoß), Wieviel % der Beweg.Energie (des Geschosses) ging verloren?

Lösungsvorschlag

Das Pendel wird um d=30cm=0,3m ausgelenkt.  Es gilt nach Pythagoras:

$h' = \sqrt {l^2 - d^2}~=~ \sqrt {2^2 - 0,3^2} ~=~ 1,977$. Damit errechnet sich h = l - h' = 2m - 1,977m = 0,023m.

Am Punkt maximaler Auslenkung hat das Pendel (mit dem Geschoß drin) die potentielle Energie $E_{pot} ~=~ (m_{Pendel} + m_{Geschoß}) g h ~= 2,010 kg \cdot 9,81 \frac {m}{s^2} \cdot 0,023m ~=~ 0,454 Nm$.

Die potentielle Energie entspricht der kinetischen Anfangsenergie von Pendelkörper mit enthaltenem Geschoß."u" sei die Anfangsgeschwindigkeit des Pendels mit enthaltenem Geschoß.

$\frac 1 2  (m_{Pendel} + m_{Geschoß})  u^2 ~=~ (m_{Pendel} + m_{Geschoß}) g h$.

Daraus erhält man die Anfangsgeschwindigkeit des Pendels mit enthaltenem Geschoß u durch Umformen als $u ~=~ \sqrt { \frac {2 (m_{Pendel} + m_{Geschoß}) g h }{(m_{Pendel} + m_{Geschoß})}} ~=~ \sqrt { 2 g h } ~=~ \sqrt { 2 \cdot 9,81 \cdot 0,023 } ~=~ 0,672 \frac m s$

(Bemerkung: wenn hier jemand an der Tafel 0,767 m/s ausgerechnet hat, hat er sich aber verrechnet und der Prof hat es nicht gemerkt.)

Num wenden wir den Impulserhaltungsatz an. Der Gesamtimpuls vor dem Stoß wird nur vom Geschoß bestimmt: $p_{vorher} ~=~ m_{Geschoß} \cdot v$.  Der Gesamtimpuls nach dem Stoß ist $p_{nachher} ~=~ (m_{Pendel} + m_{Geschoß}) \cdot u$. Durch Gleichsetzen und Auflösen nach v erhält man $v ~=~ \frac {m_{Pendel} + m_{Geschoß}}{m_{Geschoß}} u ~=~ \frac {2,010}{0,01} 0,672 \frac m s ~=~ 135,072 \frac m s$. 

(Bemerkung: wer vorher u=0,767 m/s ausgerechnet hat, kommt hier auf v=154,17 m/s)

Die kinetische Energie vorher beträgt $E_{kin(vorher)} = \frac 1 2 m_{Pendel} v^2 ~=~  \frac 1 2 \cdot 0,01 \cdot {135,072}^2 ~=~ 91,222 J$

(Bemerkung: mit der falschen Geschwindigkeit v=154,17 m/s erhält man 118,84 J)

Die kinetische Energie nach dem Stoß beträgt $E_{kin(nachher)} = \frac 1 2 (m_{Pendel} + m_{Geschoß}) \cdot u ~=~  \frac 1 2 \cdot 2,010 \cdot {0,672}^2 ~=~ 0,454 J$

$\frac {E_{kin(nachher)}}{E_{kin(vorher)}} ~=~ \frac {0,454 J}{91,222 J} ~=~ 0,005 ~=~0,5\%$. Es ist nach dem Auftreffen des Geschosses auf das Pendel nur noch 0,5% der ursprünglichen kinetischen Energie vorhanden, also gingen 99,5% der ursprünglichen kinetischen Energie verloren.