Aufgabe 131

Herleitung der Formeln: z.B. http://www.walter-fendt.de/ph14d/stossmath.htm

Aufgabe:

2 Kugeln stoßen längs einer Geraden gegeneinander. $m_1=5kg, m_2=10kg, v_1=5 \frac m s , v_2=8 \frac m s$. Welche Geschwindigkeiten haben die Kugeln nach dem Stoß, wenn er (a) elastisch und (b) unelastisch ist? Wieviel Prozent an Bewegungsenergie geht verloren?

Lösungsvorschlag:

Zunächst Definitionen:  die Gerade verläuft von links nach rechts. Geschwindigkeiten nach rechts werden positiv, nach links negativ verwendet. Geschwindigkeiten vor dem Stoß werden mit v, nach dem Stoß mit u bezeichnet.Die kleinere Kugel bewegt sich anfangs von links nach rechts.

Elastischer Stoß:

Nach dem Impulserhaltungssatz gilt $m_1 v_1 + m_2 v_2 ~=~ m_1 u_1 + m_2 u_2$.   Hier hat man 2 Unbekannte $u_1$ und $u_2$, aber nur diese eine Gleichung. Daher muss man noch den Energieerhaltungsatz hinzuziehen. 

Zunächst löst man die Impulserhaltungsgleichung nach einer der Unbekannten auf und setzt diese dann in den Energieerhaltungsatz ein.

$$m_1 v_1 + m_2 v_2 ~=~ m_1 u_1 + m_2 u_2$$ wird nach $u_2$ aufgelöst. $$u_2 ~=~ \frac {m_1 v_1 + m_2 v_2 - m_1 u_1}{m_2}$$
In den Energieerhaltungssatz $$\frac 1 2 m_1 v_1^2 ~+~ \frac 1 2 m_2 v_2^2 ~=~ \frac 1 2 m_1 u_1^2 ~+~ \frac 1 2 m_2 u_2^2$$ setzt man dieses $u_2$ ein und löst dann nach $u_1$ auf.  Auf diese Umformung verzichten wir hier, aber für Übungszwecke kann man sich das ja mal in Ruhe durchrechnen. Jedenfalls erhält man $$u_1 ~=~ \frac {m_1 v_1 + m_2 ( 2 v_2 - v_1)}{m_1 + m_2}$$ und analog $$u_2 ~=~ \frac {m_2 v_2 + m_1 ( 2 v_1 - v_2)}{m_1 + m_2}$$

Mit $m_1=5kg, m_2=10kg, v_1=5 \frac m s , v_2=-8 \frac m s$ wird daraus: $$u_1 ~=~ \frac {5kg \cdot 5 \frac m s + 10kg \cdot ( 2 \cdot (-8 \frac m s )  - 5 \frac m s)}{5kg + 10kg} ~=~ -12 \frac 1 3 \frac m s$$ und $$u_2 ~=~ \frac {10kg \cdot (-8 \frac m s) + 5kg \cdot ( 2 \cdot (5 \frac m s )  - (-8) \frac m s)}{5kg + 10kg} ~=~ \frac 2 3 \frac m s$$

Nach dem Stoß bewegt sich also die kleinere, ursprünglich von links kommende Kugel mit $u_1=12 \frac 1 3 \frac m s$ nach links und die größere, ursprünglich von rechts kommende Kugel mit $u_2=\frac 2 3 \frac m s$ nach rechts.

Unelastischer Stoß:

Beim unelastischen Stoß kommen wir mit den Impulssatz alleine aus. Vach dem Stoß bewegen sich beide Kugeln zusammen mit der gleichen Geschwindigkeit u. Es gilt: $m_1 v_1 + m_2 v_2 ~=~ (m_1 + m_2) u$. Nach u aufgelöst erhält man $$u ~=~ \frac {m_1 v_1 + m_2 v_2}{(m_1 + m_2)} ~=~ \frac {5kg \cdot 5 \frac m s + 10kg \cdot -8 \frac m s }{(5kg + 10kg)} ~=~ -3 \frac 2 3 \frac m s$$

Die beiden Kugeln bewegen sich also nach dem Stoß mit $3 \frac 2 3 \frac m s$ nach links.

Die gesamte kinetische Energie vorher beträgt $$E_{kin-vorher}~=~ \frac 1 2 m_1 v_1^2 + \frac 1 2 m_2 v_2^2 ~=~ \frac 1 2 \cdot 5kg \cdot 25 \frac {m^2}{s^2} + \frac 1 2 \cdot 10kg \cdot 64 \frac {m^2}{s^2} ~=~ 382,5 J$$ Die Kinetische Energie nach dem Stoß beträgt $$E_{kin-nachher}~=~ \frac 1 2 (m_1 + m_2) u^2 ~=~ \frac 1 2 \cdot 15kg \cdot \frac 121 9 \frac {m^2}{s^2} ~=~ 100,8 J$$ das sind $\frac {100,8}{382,5}= 0,263 = 26,3\%$ der vorherigen Energie. Also gingen 73,7% verloren.