Aufgabe 132

Aufgabe:

Was ergibt sich aus der vorherigen Aufgabe, wenn die schnellere Kugel von hinten auf die langsamere stößt?

Lösungsvorschlag:

Die beiden Geschwindigkeiten zeigen in die gleiche Richtung, haben also dasselbe Vorzeichen.

Elastischer Stoß:

Mit $m_1=5kg, m_2=10kg, v_1=5 \frac m s , v_2=8 \frac m s$ wird daraus:$$u_1 ~=~ \frac {5kg \cdot 5 \frac m s + 10kg \cdot ( 2 \cdot (8 \frac m s )  - 5 \frac m s)}{5kg + 10kg} ~=~ 9 \frac m s$$ und $$u_2 ~=~ \frac {10kg \cdot 8 \frac m s + 5kg \cdot ( 2 \cdot (5 \frac m s )  - 8 \frac m s)}{5kg + 10kg} ~=~ 6 \frac m s$$

Nach dem Stoß bewegt sich also die kleinere, ursprünglich langsamere Kugel mit $u_1=9 \frac m s$ weiter links und die größere, ursprünglich schnellere Kugel mit $u_2=6 \frac m s$ weiter.

Unelastischer Stoß:

Nach dem Stoß bewegen sich beide Kugeln zusammen mit der gleichen Geschwindigkeit u. Es gilt: $m_1 v_1 + m_2 v_2 ~=~ (m_1 + m_2) u$. Nach u aufgelöst erhält man $$u ~=~ \frac {m_1 v_1 + m_2 v_2}{(m_1 + m_2)} ~=~ \frac {5kg \cdot 5 \frac m s + 10kg \cdot 8 \frac m s }{(5kg + 10kg)} ~=~ 7 \frac m s$$

Die beiden Kugeln bewegen sich also nach dem Stoß mit $7 \frac m s$ weiter..

Die gesamte kinetische Energie vorher beträgt $$E_{kin-vorher}~=~ \frac 1 2 m_1 v_1^2 + \frac 1 2 m_2 v_2^2 ~=~ \frac 1 2 \cdot 5kg \cdot 25 \frac {m^2}{s^2} + \frac 1 2 \cdot 10kg \cdot 64 \frac {m^2}{s^2} ~=~ 382,5 J$$ Die Kinetische Energie nach dem Stoß beträgt $$E_{kin-nachher}~=~ \frac 1 2 (m_1 + m_2) u^2 ~=~ \frac 1 2 \cdot 15kg \cdot 49 \frac {m^2}{s^2} ~=~ 367,5 J$$ das sind $\frac {367,5}{382,5}= 0,9607 = 96,07\%$ der vorherigen Energie. Also gingen 3,93% verloren.