Aufgabe 704

$$f_{gemessen} = \frac {c_0}{\lambda_{Stern}}  \cdot  \sqrt { \frac {c+v}{c-v}}$$

Ersetzung: $\frac {c_0}{\lambda_{Stern}}  =  f_{Stern}$

$$f_{gemessen} =  f_{Stern}  \cdot  \sqrt { \frac {c+v}{c-v}}$$

Quadrieren

$$f_{gemessen}^2 =  f_{Stern}^2  \cdot   \frac {c+v}{c-v}$$

Umformen

$$\frac {f_{gemessen}^2}{ f_{Stern}^2}  =  \frac {c+v}{c-v}$$

Ersetzen (zur einfacheren Schreibweise) $\frac {f_{gemessen}^2}{ f_{Stern}^2}  =  a$

$$a  =  \frac {c+v}{c-v}$$

weiter Umformen

$$a \cdot (c-v)  =  c+v$$

$$ac - av  = c + v$$

$$ac - c  = v + av$$

$$(a - 1)c  = v (1 + a)$$

$$v  = \frac {a - 1}{1 + a} \cdot c$$

Teile ausrechnen:

$$f_{Stern}  =  \frac {c}{\lambda_{Stern}}  = \frac {3 \cdot 10^8 m/s}{656,27800 \cdot 10^{-9}m} = 4.57123353213120 \cdot 10^{14}$$

$$a = \frac {f_{gemessen}^2}{ f_{Stern}^2}  =  \frac {{457,12150 \cdot 10^{12}}^2 }{{4.57123353213120 \cdot 10^{14}}^2} =  \frac {2.089600658 \cdot 10^{29}} {2.089617601 \cdot 10^{29}}  = 0,9999918918$$

$$v  = \frac {a - 1}{1 + a} \cdot c  = \frac {0,9999918918 - 1}{1 + 0,9999918918} \cdot c  =  \frac {−0.000008108}{1,9999918918} \cdot c  =  −0.000004054 \cdot  3 \cdot 10^8  = −1216.2 m/s$$

was einigermassen nahe an der angegebenen Lösung von -1200 m/s liegt.  Die Geschwindigkeit ist negativ, also entfernt sich der Stern von uns (dem Beobachter)