Aufgabe 705

Ein Stab wird zu Longitudinalwellen angeregt.Die Wellenausbreitung kann mit der Gleichung $y = 5 \cdot 10^{-5}m sin( 1980 \frac{1}{s} t - 6 \frac{1}{m} x )$ beschrieben werden.

Lösungsvorschlag:

Allgemein hat die Wellenfunktionsgleichung die Form: $$y(x,t) = y_{max} sin[ \omega (t - \frac {x}{c}) ]$$

Mit den Bezeichnungen $\omega =\frac{2π}{T}$,  $c= \frac{\lambda}{T}$ und $k = \frac{2 π}{\lambda} $ wird daraus $$y(x,t) = y_{max} sin( \omega t - \frac {2π}{T} \frac {x}{c} )$$

und $$y(x,t) = y_{max} sin(\omega t - k x)$$

Einige neue Begriffe: k nennt man Wellenzahl oder Raumfrequenz oder auch Wellenvektor.

Gefragt sind:

• Kreisfrequenz.  Das ist einfach. Die Kreisfrequenz $\omega = 1980 \frac{1}{s}$ ist einfach das, was in der allgemeinen Formel vor "t" steht.
• Wellenvektor. Das kann man der obigen Definition entnehmen. k ist die Zahl, die vor "x" steht.  $k = \frac{2 π}{\lambda} = 6 \frac {1}{m} $ 
• Frequenz. Die kriegt man leicht aus der Kreisfrequenz. Wir haben ja $\omega = \frac{2 π}{T} = 1980 \frac{1}{s}$ Daraus nimmt man $\frac{2 π}{T} = 1980 \frac{1}{s}$
  Weil $f=\frac{1}{T}$ ist, kann man $\frac{2 π}{T} = 1980 \frac{1}{s}$ auf beiden Seiten durch $2π$ teilen und erhält $f=315,12 \frac{1}{s}$
• Wellenlänge. Die Wellenlänge erhält man ais den Wellenvektor. Da hat man ja (siehe oben) $k = \frac{2 π}{\lambda} = 6 \frac {1}{m} $, also $\frac{2 π}{\lambda} = 6 \frac {1}{m}$. Dies löst man einfach nach $\lambda$ auf und erhält $\lambda = \frac {2 π}{6} = 1,047  \approx 1,05$
• Phasengeschwindigkeit. Das ist $c = \frac {\lambda}{T} = \lambda \cdot f = 1,05m \cdot 315,13 \frac{1}{s} \approx 330 \frac{m}{s}$
• Geschwindigkeitsamplitude. Dafür muss man etwas ausholen.  Bekanntlicherweise ist die Geschwindigkeitsfunktion eine Ableitung (nach der Zeit) der Ortsfunktion. Man betrachtet also obige Ortsfunktion wie wenn sie nur eine Funktion der Zeit wäre und leitet entsprechend ab. So erhält man eine Funktion $v(x,t)= y_{max} \cdot \omega \cdot cos(\omega t - k x)$. Dies ist ebenfalls wieder eine periodische Funktion (wegen "cos") mit der Amplitude $y_{max} \cdot \omega$, die man auch Geschwindigkeitsamplitude nennt. Für diese Aufgabe hier ist die Geschwindigkeitsamplitude $5 \cdot 10^{-5}m \cdot 1980 \frac{1}{s} \approx 0,1 \frac {m}{s}$.