Aufgabe 2

Ein Zug fährt mit 72 km/h Geschwindigkeit. Durch eine Baustelle wird er gezwungen, seine
Geschwindigkeit auf 18 km/h zu drosseln und kommt deshalb mit 3 min Verspätung am
Zielbahnhof an. Die Bremsbeschleunigung ist 0,2 m/s2 und die Anfahrbeschleunigung 0,1 m/s2.
Wie lang ist die Baustelle? (Aus Sicherheitsgründen hat der Zug am Anfang der Baustelle bereits
die kleine Geschwindigkeit und darf erst am Ende wieder beschleunigen)

Lösungsvorschlag:

Veranschaulichen wir das mit einem v/t Diagramm. Der Zug fährt mit 72km/h. Er muss VOR der Baustelle bremsen (Phase 1, Verzögerung), damit er IN der Baustelle (Phase 2, Baustellendurchfahrt) die 18km/h fährt. DANACH (Phase 3, Beschleunigung) beschleunigt er wieder auf 72km/h.

Phase 1 (Verzögerung von 72km/h auf 18km/h)

Zunächst die Umrechnung auf m/s:
$v_0 = 72 \frac{km}{h} = 20 \frac m s$ und $v_1 = 18 \frac{km}{h} = 5 \frac m s$. Damit haben wir eine Geschwindigkeitsverringerung von $v_0-v_1=15 \frac m s$.

Mit $\Delta v=a \Delta t$, $a=0,2\frac{m}{s^2}$ und dieser Geschwindigkeitsverringerung können wir die Verzögerungszeit ausrechnen.

$t_{Verzögerung}=\frac{\Delta v}{a} \ =\ \frac{15 m\ s^2}{s\ 0,2 m} = 75 s$

Der Zug benötigt also 75 s um VOR der Baustelle von 72km/h (20m/s) auf 18km/h (5m/s) abzubremsen.
In dieser Zeit legt er die Strecke $s_{Verzögerung}=v_{Normal}t_{Verzögerung} - \frac 1 2 a t_{Verzögerung}^2 = 20 \frac m s \cdot 75 s - \frac 1 2 0,2\frac{m}{s^2} \cdot (75s)^2 = 1500 \frac m s - 562,5 \frac m s = 937,5 m$ zurück.

Wenn der Zug nicht gebremst hätte, wäre er mit 72km/h (20m/s) weitergefahren. Wie lange hätte er dafür gebraucht? Wir formen $v=\frac s t$ um. $t_{Phase 1 ohne Verzögerung} = \frac s v = \frac{937,5 m\ s}{20 m} = 46,875 s$.

Anstatt 46,875s hat er für die Strecke der Phase 1 aber 75s gebraucht, die Verspätung durch Phase 1 ist also: $t_{Verspätung Phase 1}=t_{Verzögerung}-t_{Phase 1 ohne Verzögerung} = 75 s - 46,875 s = 28,125 s$.

Phase 2 (Fahrt durch die Baustelle)

Der Zug fährt mit 18km/h durch die Baustelle. Wir wissen noch nicht, wie lange die Baustellendurchfahrt dauert und die Baustellenlänge soll ja ausgerechnet werden.

Phase 3 (Beschleunigung von 18km/h auf 72km/h)

Zunächst die Umrechnung auf m/s:
$v_1 = 5 \frac m s$ und $v_2 = 20 \frac m s$. Damit haben wir eine Geschwindigkeitserhöhung von $v_2-v_1=15 \frac m s$.

Mit $v=at$, $a=0,1\frac{m}{s^2}$ und dieser Geschwindigkeitserhöhung können wir die Beschleunigungszeit ausrechnen.

$t_{Beschleunigung}=\frac v a \ =\ \frac{15 m\ s^2}{s\ 0,1 m} = 150 s$

Der Zug benötigt also 150 s um NACH der Baustelle von 18km/h (5m/s) auf 72km/h (20m/s) zu beschleunigen.
In dieser Zeit legt er die Strecke $s_{Beschleunigung}=\frac 1 2 a t^2  + v t = \frac 1 2 0,1\frac{m}{s^2} \cdot (150 s)^2  + 5 \frac m s \cdot 150 s = 1125 m + 750 m = 1875 m$ zurück.

Wenn der Zug nicht gebremst hätte, wäre er auch in diesem Teil der Strecke mit 72km/h (20m/s) weitergefahren. Wie lange hätte er dafür gebraucht? $t_{Phase 3 ohne Verzögerung} = \frac s v = \frac{1875m\ s}{20 m} = 93,75 s$.

Anstatt in 93,75 s hat er für die Strecke der Phase 3 aber 150s gebraucht, die Verspätung durch Phase 3 ist also: $t_{Verspätung Phase 3}=t_{Beschleunigung}-t_{Phase 3 ohne Verzögerung} = 150 s - 93,75 s = 56,25 s$.

Berechnung der Verspätungszeit während Phase 2

Die Verspätungszeit beträgt 3 min (=180s) und setzt sich zusammen aus der Zeit zur Verzögerung, der Zeit für die Baustellendurchfahrt und der Zeit für die anschliessende Beschleunigung.

$t_{Verspätung insgesamt} = t_{Verspätung Phase 1}+t_{Verspätung Phase 2}+t_{Verspätung Phase 3}\ \ =\ \ 180s$

Die Verspätung in Phase 2 ist also: $t_{Verspätung Phase 2}=180 s - t_{Verspätung Phase 1} - t_{Verspätung Phase 3} \ \ =\ \ 180 s - 28,125 s - 56,25 s \ \ =\ \ 95,625 s$

Überlegung zur eigentlichen Durchfahrt durch die Baustelle

Wenn der Zug normal durch die Baustelle gefahren wäre, hätte er dafür die Zeit $t_{B-normal}$ benötigt. Wegen der Baustelle hat er dafür aber $t_{B-langsam}$ gebraucht. Die Differenz dieser beiden Werte ist die zuvor errechnete Verspätung während Phase 2:  $t_{Verspätung Phase 2}=t_{B-langsam} - t_{B-normal}$.

Für die Streckenlänge der Baustelle gilt: $s_{Baustelle} = v_{normal} t_{B-normal} = v_{Baustelle} t_{B-langsam}$.

Und da hätten wir einen möglichen Lösungsweg:  wir kennen $t_{Verspätung Phase 2}$, $s_{Baustelle}$,  $v_{normal}$ und $v_{Baustelle}$. Unbekannt sind $t_{B-langsam}$ und $t_{B-normal}$. 2 Gleichungen, 2 Unbekannte.

Die weitere Lösung überlassen wir dem geneigten Leser als Übungsaufgabe.

Nachbemerkung:

Wer glauben sollte, dass eine solche Aufgabe selbst von einem Diplommathematiker innerhalb der Zeit, die man für eine Klausur/Klassenarbeit so ansetzt (1,5h - 2h) lösbar wäre, der könnte falsche Vorstellungen von der Aufgabenkomplexität haben.