Aufgabe 4

Ein Auto fährt mit 50 km/h. Plötzlich taucht in 32 m Entfernung ein Hindernis auf und der Fahrer führt eine Vollbremsung durch. Die Zeit vom Erkennen des Hindernisses bis zum Beginn der Bremsung beträgt 1 s. Das Auto kommt genau vor dem Hindernis zum Stehen.
Das gleiche Auto kommt mit 70 km/h in die selbe Situation. Welche Geschwindigkeit hat es am Hindernis?

Lösungsvorschlag:

Fall 1:

$v_1=50 \frac{km}{h} = \frac{50}{3,6} \frac m s = 13,89 \frac m s$.

In der "Schrecksekunde/Reaktionszeit" $t_{reaktion}=1s$ legt das Auto die Strecke $s_{reaktion}=v_1 \cdot t_{reaktion} = 13,89 \frac m s \cdot 1 s = 13,89 m$ zurück.

Für die reine Bremsstrecke bleiben nun noch $s_{brems} = 32 m - 13,89 m = 18,11 m$ übrig.

Für die Bremsstrecke bis zum Hindernis gilt: $s_{brems}= \frac 1 2 a_{brems} (t_{brems})^2$ mit unbekannter Bremsverzögerung $a_{brems}$ und Bremszeit $t_{brems}$.

Andererseits kommt das Auto bis zum Stillstand. Es gilt also $0 = v_{Stillstand} = v_1 - a_{brems} \cdot t_{brems}$.

Aus diesen 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten kann man die Unbekannten errechnen.  Aus $0 = v_1 - a_{brems} \cdot t_{brems}$ wird $\frac{ v_1}{a_{brems}} = t_{brems}$ und dies wird in die erste Gleichung eingesetzt.
$$s_{brems}= \frac 1 2 a_{brems} ( \frac{v_1}{a_{brems}})^2 = \frac 1 2  \frac{v_1^2}{a_{brems}}$$
$$a_{brems} = \frac{v_1^2}{2 \cdot s_{brems}} = \frac{13,89^2  m^2}{2 \cdot s^2 \cdot 18,11 m} = 5,33 \frac{m}{s^2}$$
Die dazu gehörende Bremszeit ist $t_{brems} = \frac{ v_1}{a_{brems}} = \frac{13,89 m \ s^2}{s \  5,33 m} = 2,61 s$

Fall 2:

Gleicher Wagen, gleiche Reaktionszeit, gleiche Verzögerung, aber Anfangsgeschwindigkeit $v_2=70 \frac{km}{h} = 19,44 \frac m s$.

In der Reaktionszeit $t_{reaktion}=1s$ legt das Auto die Strecke $s_{reaktion}=v_2 \cdot t_{reaktion} = 19,44 \frac m s \cdot 1 s = 19,44 m$ zurück.

Für die Strecke bis zum Hindernis bleiben nun noch $s_{bis Hindernis} = 32 m - 19,44 m = 12,56 m$ übrig.

Für die Geschwindigkeit während der Bremsung gilt: $v(t)  = v_2 - a_{brems} \cdot t$.

Für die Zeit $t_{bis Hindernis}$, die bis zum Erreichen des Hindernisses benötigt wird, gilt: $s_{bis Hindernis} = \frac 1 2 a_{brems} \cdot t_{bis Hindernis}^2$ .  Dies lösen wir nach $t_{bis Hindernis}$ auf und rechnen:
$$t_{bis Hindernis} = \sqrt{ \frac{2 s_{bis Hindernis}}{a_{brems}} } = \sqrt{ \frac{2 \cdot 12,56 m \ s^2}{5,33 m} } = 2,17 s$$

Diese Zeit setzen wir in die Geschwindigkeitsgleichung ein und rechnen:
$$v(t_{bis Hindernis})  = v_2 - a_{brems} \cdot t_{bis Hindernis} = 19,44 \frac m s - 5,33 \frac{m}{s^2} \cdot 2,17 s = 7,87 \frac m s = 28,35 \frac{km}{h}$$

Das Auto trifft also mit $28,35 \frac{km}{h}$ auf dem Hindernis auf.