Aufgabe 5

Ein PKW fährt mit einer Geschwindigkeit von $80 \frac{km}{h}$. Der Fahrer bemerkt in 65 m Entfernung ein Hindernis und bremst nach einer Reaktionszeit von 0,8s mit einer konstanten Bremsbeschleunigung von $-6 \frac{m}{s^2}$.

Kommt das Fahrzeug rechtzeitig zum Stillstand?

Zeichnen Sie das Geschwindigkeit-Zeit- und das Weg-Zeit-Diagramm. Berechnen Sie für das Weg-Zeit-Diagramm drei weitere Wertepaare.

Lösungsvorschlag:

$v_1=80 \frac{km}{h} = \frac{80}{3,6} \frac m s =  22,222 \frac m s$, $a_{brems} = -6 \frac{m}{s^2}$, $t_{reaktion}=0,8s$.

Für die Streckenfunktion gilt:

Entsprechend gilt für die Geschwindigkeitsfunktion:

In der Reaktionszeit $t_{reaktion}=0,8s$ legt das Auto die Strecke $s_{reaktion}=v_2 \cdot t_{reaktion} = 22,222 \frac m s \cdot 0,8 s = 17,778 m$ zurück.

Für die Strecke bis zum Hindernis bleiben nun noch $s_{bis Hindernis} = 65 m - 17,778 m = 47,222 m$ übrig.

Ignorieren wir mal das Hindernis, betrachten nur den reinen Bremsvorgang (beginnend bei t=0) und bestimmen mit $v(t) = v_1  + a_{brems} \cdot t$ die Zeit von Beginn der Bremsung bis zum Stillstand ($v=0$).
$$0 = v(t_{stillstand}) = v_1  + a_{brems} \cdot t_{stillstand}$$
$$- v_1  =  a_{brems} \cdot t_{stillstand}$$
$$t_{stillstand} = \frac{- v_1}{a_{brems}} = \frac{- 22,222 m\ s^2 }{- 6 m \ s } = 3,704 s$$

Die Strecke, die in dieser Zeit zurückgelegt wird, kann mit $s(t) = v_1 \cdot t + \frac 1 2 a_{brems} \cdot t^2$ berechnet werden:
$$s(t_{stillstand}) = v_1 \cdot t_{stillstand} + \frac 1 2 a_{brems} \cdot t_{stillstand}^2 = 22,222 \frac m s \cdot  3,704 s - \frac 1 2 6 \frac{m}{s^2} \cdot  (3,704 s)^2 =  82,310 m - 41,159 m = 41,151 m$$

Das Hindernis ist noch weiter entfernt ($47,222 m$), das Auto kommt noch vor dem Hindernis nach $41,151 m$ zum Stehen.

Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm:

Strecke-Zeit-Diagramm: