Aufgabe 5

Ein Auto ($m=720kg$) (das ist übrigens sehr leicht - ein kleiner SMART wiegt schon 770kg) wird durch eine konstante Bremskraft $F=4,37 \cdot 10^3 N$ auf einem Weg $s=68m$ auf die Hälfte seiner Geschwindigkeit abgebremst.
(a) Wie lange dauert der Bremsvorgang?
(b) Aus welcher Geschwindigkeit wurde das Auto abgebremst?

Lösungsvorschlag:

Zunächst wird mit $F=m \cdot a$ die Beschleunigung berechnet: $a=\frac F m = \frac{4370 N}{720 kg} =  6,069 \frac{m}{s^2}$.

Dann betrachten wir die Geschwindigkeiten. Aus einer Anfangsgeschwindigkeit $v_0$ wird auf eine Geschwindigkeit $v_1 = \frac{v_0}{2}$ verzögert.  Auch ist $v_1 = v_0 - a \cdot t$. Wenn wir beides zusammenfassen haben wir: $$v_1 = \frac{v_0}{2} = v_0 - a \cdot t$$
$$\frac{v_0}{2} = v_0 - a \cdot t$$
$$v_0 = 2 \cdot v_0 - 2 \cdot a \cdot t$$
$$- v_0 = - 2 \cdot a \cdot t$$
$$v_0 = 2 \cdot a \cdot t$$ 

Für die Strecke, die während des Bremsvorgangs zurückgelegt wird, gilt $s=\frac 1 2 a t^2 + v_0 t$. Hier kann man obiges $v_0=...$ einsetzen und erhält:
$$s=\frac 1 2 a \cdot t^2 + 2 \cdot a \cdot t \cdot t$$
$$s=\frac 1 2 a \cdot t^2 + 2 \cdot a \cdot t^2$$
$$s=2,5 at^2$$
$$t=\sqrt{\frac{s}{2,5 a}}$$

Nun können wir die Dauer des Bremsvorgangs ausrechnen:
$$t=\sqrt{\frac{s}{2,5 a}} = \sqrt{\frac{68 m\ s^2}{2,5 \cdot  6,069 m}} = 2,117 s$$

Zur Berechnung der Anfangsgeschwindigkeit können wir obige Formel $v_0 = 2 \cdot a \cdot t$ verwenden:
$$v_0 = 2 \cdot a \cdot t = 2 \cdot 6,069 \frac{m}{s^2} \cdot 2,117 s =  25,696 \frac{m}{s}$$