Aufgabe 105

Aus einer Integral-Tafel wurden die folgenden Beziehungen entnommen. Beweisen Sie deren Gültigkeit.

a)  $\int  e^{-x} (1-x) dx \ =\  x e ^{-x} + C$

b)  $\int  \frac{\sqrt{x^2-4}}{x} dx \ =\  \sqrt{x^2-4} - 2 \cdot \arccos \frac{2}{x} + C$

zu a)  Versuchen wir einfach die rechte Seite ($x e ^{-x} + C$) abzuleiten und vergleichen, ob der Integrand rauskommt.

$ \frac {d}{dx}\ \  \left( x \cdot e^{-x} + C \right)$  (nach Produktregel ableiten,  (uv)'=u'v + uv' )

$= 1 \cdot e^{-x} \ + \  x \cdot (-1) \cdot e^{-x}$   (zusammenfassen)

$= e^{-x} \ - \  x \cdot e^{-x}$   ($e^{-x}$ ausklammern)

$= e^{-x} \left( 1 \ - \  x \right)$

dies ist genau der Integrand auf der linken Seite. Damit ist die Beziehung (a) bewiesen.

zu b) Vorgehensweise wie a): Rechte Seite ableiten und umformen

$$\frac {d}{dx}\ \   \left( \sqrt{x^2-4} - 2 \cdot \arccos \frac{2}{x} + C \right) \ \ =$$

$$\frac {d}{dx}\ \   \left( (x^2-4)^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot \arccos \frac{2}{x} + C \right) \ \ =$$

$$ äußere Ableitung \cdot innere Ableitung \ \ -\ \  konstanter Faktor \cdot ( äußere Ableitung \cdot innere Ableitung ) $$

$$\frac{1}{2} (x^2-4)^{-\frac{1}{2}} \cdot 2x \ \ - \ \  2 \cdot \left( \frac{-1}{\sqrt {1 - {\left(\frac{2}{x}\right)}^2}} \cdot  \frac{-2}{x^2} \right) \ \ =$$

$$umformen$$

$$\frac{x}{\sqrt{x^2-4}} \ \ - \ \   \frac{4}{\sqrt {1 - \frac{4}{x^2} } \cdot x^2}  \ \ =$$

Nun eine kleine Nebenrechnung: betrachten wir $\sqrt {1 - \frac{4}{x^2} }$ und multiplizieren das geschickt mit "1": 

$$1 \cdot \sqrt {1 - \frac{4}{x^2} } \ = \  \frac{x}{x} \sqrt {1 - \frac{4}{x^2} } \ = \  \frac{1}{x} \sqrt {x^2 \cdot \left( 1 - \frac{4}{x^2} \right)} \ = \  \frac{1}{x} \sqrt {x^2  - \frac{4 x^2}{x^2} }\ = \  \frac{1}{x} \sqrt {x^2  - 4 }$$

Dieses ersetzen wir jetzt oben und erhalten

$$\frac{x}{\sqrt{x^2-4}} \ \ - \ \   \frac{4}{x^2 \cdot \frac{1}{x} \sqrt {x^2 - 4}}  \ \ =$$

$$ vereinfachen $$

$$\frac{x}{\sqrt{x^2-4}} \ \ - \ \   \frac{4}{x \cdot \sqrt {x^2 - 4}}  \ \ =$$

$$ gleichnamig \  machen $$

$$\frac{x^2}{x \cdot \sqrt{x^2-4}} \ \ - \ \   \frac{4}{x \cdot \sqrt {x^2 - 4}}  \ \ =$$

$$\frac{x^2 - 4 }{x \cdot \sqrt{x^2-4}}  \ \ =$$

$$Zähler \  umschreiben$$

$$\frac{\sqrt{x^2-4} \cdot \sqrt{x^2-4}}{x \cdot \sqrt{x^2-4}}  \ \ =$$

$$kürzen$$

$$\frac{\sqrt{x^2-4}}{x}$$

was zu beweisen war.