Aufgabe 108

Berechnen Sie die Fläche unter der Parabel: $y = −2 (x − 3)^2 + 8$.

Nullstellen sind bei x=1 und x=5. Der Flächeninhalt wird also durch $\int_1^5 (−2 (x − 3)^2 + 8) dx$ beschrieben.

$$\int_1^5 (−2 (x − 3)^2 + 8) dx \ \ \ =\ \ \  \int_1^5 (−2 (x^2-6x+9) + 8) dx\ \ \ =\ \ \  \int_1^5 (−2 x^2 + 12x -10) dx\ \ \ =\ \ \  $$

$$[-\frac{2}{3}x^3 + 6x^2 - 10x ]_1^5\ \ \ =\ \ \ $$

$$-\frac{2}{3}\cdot 5^3 + 6\cdot 5^2 - 10\cdot 5 \ \ \ -\ \ \ (-\frac{2}{3}\cdot 1^3 + 6\cdot 1^2 - 10\cdot 1) \ \ \ =\ \ \ $$

$$-\frac{250}{3} + 150 - 50 \ \ \ -\ \ \ (-\frac{2}{3} + 6 - 10) \ \ \ =\ \ \ $$

$$-\frac{250}{3} + 150 - 50 \ \ \ +\ \ \ \frac{2}{3} - 6 + 10) \ \ \ =\ \ \ 21\frac{1}{3}$$

Die Fläche zwischen Graph und x-Achse beträgt $21\frac{1}{3}$ Flächeneinheiten