Aufgabe 106

Welchen Flächeninhalt schließt der Graph der Funktion von $y = −0.25 x^2 + 4$ mit der x-Achse ein?

Betrachten wir das Schaubild der Funktion, sehen wir sofort, um welche Fläche es sich handelt.

Die beiden Nullstellen sind bei x=-4 und x=4 (was leicht verifiziert werden kann).  Die Fläche, die der Graph mit der x-Achse einschließt ist also $\int_{-4}^4 \left( −0.25 x^2 + 4 \right) dx$ 

$$\int_{-4}^4 \left( −0.25 x^2 + 4 \right) dx \  = \  [ \frac{-0.25}{3} x^3 + 4 x ]_{-4}^4 \ = $$

$$\left(\frac{-0.25}{3} \cdot 4^3 + 4 \cdot 4\right) \ \ \  - \ \ \  \left(\frac{-0.25}{3} \cdot (-4)^3 + 4 \cdot (-4)\right)  \  = $$

$$\left(\frac{-0.25}{3} \cdot 64 + 16\right) \ \ \  - \ \ \  \left(\frac{-0.25}{3} \cdot (-64) + (-16)\right)  \  = $$

$$\left(\frac{-16}{3} + 16\right) \ \ \  - \ \ \  \left(\frac{16}{3} - 16\right)  \  = $$

$$\frac{-16}{3} + 16 \  - \  \frac{16}{3} + 16  \ \ \ = \ \ \ 32 - \frac{32}{3}  \ \ \ = \ \ \ \frac{96}{3}-\frac{32}{3}  \ \ \ = \ \ \ \frac{64}{3}$$

Die Fläche umfasst $\frac{64}{3}$ Flächeneinheiten.