Aufgabe 109

Lösen Sie die nachfolgenden Integrale mit einer geeigneten Substitution.

Die Methode ist beispielsweise auf http://matheguru.com/1-integration-durch-substitution.html ganz brauchbar beschrieben.

(a)

$$\int \sqrt[3]{1-t} dt$$

Offensichtliche Substitution ist u=1-t.   Damit ist $\frac{du}{dt} = -1$  bzw. $du = -dt$ oder $dt = -du$.  Mit dieser Substitution erhält man

$$\int \sqrt[3]{1-t} dt \ \ \ =\ \ \ \int -\sqrt[3]{u} du \ \ \ =\ \ \  \int -u^{\frac{1}{3}} du \ \ \ =\ \ \    $$

Die Stammfunktion von $u^n$ ist $\frac{u^{n+1}}{n+1}$, hier also

$$-\frac{3}{4}u^{\frac{4}{3}}\ +\ C$$

und mit der Rücksubstitution: $$-\frac{3}{4}(1-t)^{\frac{4}{3}}\ +\ C $$

(b)

$$\int_0^{\pi} cos^3 x \cdot sin x  dx$$

Versuchen wir es mal mit der Substitution $ u = cos x$.  Dann wäre $\frac{du}{dx} = -sin x$ bzw. $-du = sin x dx$.

$$\int cos^3 x \cdot sin x  dx \ \ \ =\ \ \ -\int u^3  du \ \ \ =\ \ \ -\frac{1}{4}u^4$$

Durch Rücksubstitution erhält man  $$-\frac{1}{4}cos^4 x$$

Ausrechnen des bestimmten Integrals:

$$[-\frac{1}{4}cos^4 x]_0^{\pi} \ \ \ =\ \ \   (-\frac{1}{4}cos^4 \pi)\ \ -\ \ (-\frac{1}{4}cos^4 0)\ \ \ =\ \ \ (-\frac{1}{4})-(-\frac{1}{4})  \ \ \ =\ \ \ 0$$

(c)

$$\int \frac{1}{x \cdot ln x}dt$$

Achtung: vermutlich ist in der Aufgabenstellung ein Fehler. Anstatt "dt" sollte es wahrscheinlich "dx" heissen.  Falls "dt" richtig ist, ist die Lösung einfach: $\int \frac{1}{x \cdot ln x}dt \ =\ \frac{1}{x \cdot ln x} \cdot t + C$, weil ja nach "t" und nicht nach "x" integriert werden soll und  $\frac{1}{x \cdot ln x}$ eine von "t" unabhängige "Konstante" wäre.

$\int \frac{1}{x \cdot ln x}dx$ ist aber auch einfach hinzukriegen.  Mögliche Substitution:  $ u = ln x$.  Dann wäre $\frac{du}{dx} = \frac{1}{x}$ bzw. $du =  \frac{1}{x} dx$.

$$\int \frac{1}{x \cdot ln x}dx \ \ \ =\ \ \ \int \frac{1}{ln x}\frac{1}{x}dx  \ \ \ =\ \ \  (Substitution)\ \ \ =\ \ \ \int \frac{1}{u} du \ \ \ =\ \ \ ln (u)  + C $$

Rücksubstitution: $$ln ( ln (x) )  +  C$$

(d)

$$\int_0^{\pi} x \cdot sin {x^2} dx$$

Mögliche Substitution:  $u = x^2$, damit ist $\frac{du}{dx} = 2x$ bzw. $du =  2 x dx$.  Und wieder einmal fügen wir eine passende "1" ein:

$$\int x \cdot sin {x^2} dx \ \ \ =\ \ \ \int \frac{2}{2} x \cdot sin {x^2} dx \ \ \ =\ \ \  \int \frac{1}{2} sin {x^2} \cdot 2 x dx \ \ \ =\ \ \  $$

$$\int \frac{1}{2} sin u \  du \ \ \ =\ \ \ -\frac{1}{2} cos (u) \ +\ C$$

Rücksubstitution: $$-\frac{1}{2} cos (x^2) \ +\ C$$

Ausrechnen des bestimmten Integrals:

$$[-\frac{1}{2} cos (x^2)]_0^{\pi} \ \ \ =\ \ \   (-\frac{1}{2}cos ({\pi}^2)\ \ -\ \ (-\frac{1}{2}cos (0))\ \ \ =\ \ \ -\frac{1}{2}cos ({\pi}^2)\ \ +\ \ \frac{1}{2}$$

(e)

$$\int \frac{3 x^2 - 2}{2 x^3 - 4 x + 2} dx$$

Der Trick ist hier zu erkennen, dass man im Nenner den Faktor 2 ausklammern kann und wenn man das, was dann übrigbleibt, ableitet, genau das ist, was im Zähler steht.

Mögliche Substitution also:  $u = x^3 - 2 x + 1$, damit ist $\frac{du}{dx} = 3 x^2 - 2$ bzw. $du = (3 x^2 - 2) dx$.

$$\int \frac{3 x^2 - 2}{2 x^3 - 4 x + 2} dx \ \ \ =\ \ \  \int \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^3 - 2 x + 1} (3 x^2 - 2) dx$$

$$ \frac{1}{2}  \int \frac{1}{u} du \ \ \ =\ \ \  \frac{1}{2} ln(u)  + C \ \ \ =\ \ \  (Rücksubstitution)\ \ \ =\ \ \  \frac{1}{2} ln(x^3 - 2 x + 1) + C$$

(f)

$$\int_{-1}^1 \frac{t}{\sqrt{1+t^2}} dt$$

Mögliche Substitution:  $u = 1+t^2$, damit ist $\frac{du}{dt} = 2 t$ bzw. $du = 2 t dt$. Und wieder einmal fügen wir eine passende "1" ein:

$$\int \frac{t}{\sqrt{1+t^2}} dt \ \ \ =\ \ \ \int \frac{2}{2} \cdot \frac{t}{\sqrt{1+t^2}} dt \ \ \ =\ \ \ \int \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1+t^2}} 2 t dt \ \ \ =\ \ \ $$

$$\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} du \ \ \ =\ \ \ \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} } \sqrt{u} + C \ \ \ =\ \ \ \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \sqrt{u} + C \ \ \ =\ \ \ \sqrt{u} + C$$

Rücksubstitution: $$\sqrt{1+t^2} + C$$

Ausrechnen des bestimmten Integrals:

$$[\sqrt{1+t^2}]_{-1}^{1} \ \ \ =\ \ \  (\sqrt{1+1^2})\ \ -\ \ (\sqrt{1+(-1)^2})\ \ \ =\ \ \ \sqrt{2}\ \ -\ \ \sqrt{2}\ \ \ =\ \ \ 0$$

(g)

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} sin (3 t - \frac{\pi}{4}) dt$$

Mögliche Substitution:  $u = 3 t - \frac{\pi}{4}$, damit ist $\frac{du}{dt} = 3$ bzw. $du = 3 dt$.

$$\int sin (3 t - \frac{\pi}{4}) dt \ \ \ =\ \ \  \int \frac{3}{3} sin (3 t - \frac{\pi}{4}) dt \ \ \ =\ \ \  \int \frac{1}{3} sin (3 t - \frac{\pi}{4})\cdot 3 dt \ \ \ =\ \ \  $$

$$\frac{1}{3} \int sin (u) du \ \ \ =\ \ \  \frac{1}{3} (-cos(u))  + C$$

Rücksubstitution: $$-\frac{1}{3} cos(3 t - \frac{\pi}{4})  + C$$

Ausrechnen des bestimmten Integrals:

$$[-\frac{1}{3} cos(3 t - \frac{\pi}{4})]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ \ \ =\ \ \ \left( -\frac{1}{3} cos(3 \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}) \right)  - \left(  -\frac{1}{3} cos(3 \cdot 0 - \frac{\pi}{4}) \right)  \ \ \ =\ \ \  \left( -\frac{1}{3} cos(\frac{5}{4}\pi) \right)  - \left(  -\frac{1}{3} cos(-\frac{\pi}{4}) \right)  \ \ \ =\ \ \   $$

Mit den speziellen Werten der Cosinusfunktion kann man weiter vereinfachen: $cos(\frac{\pi}{4})=\frac{1}{2}\sqrt{2}$, $cos(\frac{5\pi}{4})=-\frac{1}{2}\sqrt{2}$, $cos(-\frac{\pi}{4})=\frac{1}{2}\sqrt{2}$.

$$ \left( -\frac{1}{3} \cdot (-\frac{1}{2}\sqrt{2}) \right)  - \left(  -\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}\sqrt{2} \right)  \ \ \ =\ \ \  \left( \frac{1}{6} \sqrt{2} \right)  - \left(  -\frac{1}{6}\sqrt{2} \right)  \ \ \ =\ \ \  \frac{1}{3}\sqrt{2} $$