Aufgabe 2, Höhere binomische Formeln

Für die binomischen Formeln findet man die Koeffizienten im Pascalschen Dreieck, welches wir hier von "hoch 0" bis "hoch 7" haben:

1

1     1

1     2     1

1     3     3     1

1     4     6     4     1

1     5     10     10     5     1

1     6     15     20     15     6     1

1     7     21     35     35     21     7     1

Teilaufgabe a)

$$(1-x^2)^4$$

$$\textbf 1 \cdot 1^4 + \textbf 4 \cdot 1^3 \cdot (-x^2)^1 + \textbf 6 \cdot 1^2 \cdot (-x^2)^2 + \textbf 4 \cdot 1^1 \cdot (-x^2)^3 + \textbf 1 \cdot (-x^2)^4 $$

$$1 - 4 x^2 +  6x^4 - 4 x^6 + x^8 $$

Teilaufgabe b)

$$(2x-3y)^7$$

$$\textbf 1 \cdot (2x)^7 + \textbf 7 \cdot (2x)^6 \cdot (-3y)^1 + \textbf {21} \cdot  (2x)^5 \cdot (-3y)^2 + \textbf {35} \cdot  (2x)^4 \cdot (-3y)^3 + \textbf {35} \cdot  (2x)^3 \cdot (-3y)^4+ \textbf {21} \cdot  (2x)^2 \cdot (-3y)^5+ \textbf 7 \cdot  (2x)^1 \cdot (-3y)^6+ \textbf 1 \cdot  (-3y)^7$$

$$128x^7 - 1344x^6y + 6048x^5y^2 - 15120x^4y^3 + 22680x^3y^4-20412x^2y^5 - 10206xy^6 - 2187y^7$$

Teilaufgabe c)

$$(\frac 1 x + 3y)^5$$

$$\textbf 1 \cdot (\frac 1 x)^5 + \textbf 5 \cdot (\frac 1 x)^4 \cdot (3y)^1 + \textbf {10} \cdot  (\frac 1 x)^3 \cdot (3y)^2 + \textbf {10} \cdot  (\frac 1 x)^2 \cdot (3y)^3 + \textbf 5 \cdot  (\frac 1 x)^1 \cdot (3y)^4+ \textbf 1 \cdot (3y)^5$$

$$ (\frac 1 {x^5}) +15\frac 1 {x^4}y + 90\frac 1 {x^3}y^2 + 270 \frac 1 {x^2}y^3 + 405 \frac 1 x y^4 + 243 y^5 $$

Teilaufgabe d)

$$[(x + y) + 2 z]^3$$

$$\textbf 1 \cdot (x+y)^3 + \textbf 3 \cdot (x+y)^2 \cdot (2z)^1 + \textbf {3} \cdot  (x+y)^1 \cdot (2z)^2 + \textbf 1 \cdot  (2z)^3$$

$$(x^3+3x^2y+3xy^2+x^3) + 3(x^2+2xy+y^2)(2z) +3(x+y)(4z^2) + 8z^3  $$

$$ x^3+3x^2y+3xy^2+x^3  +  6x^2z + 12xyz + 6y^2z  + 12xz^2 + 12yz^2 + 8z^3 $$