Aufgabe 3, Polynomdivision

Teilaufgabe a)

$\ \ \ (25 x^4 - 36 y^4 ) \div ( 5 x^2 + 6 y^2 ) \ \  =\ \  5 x^2 - 6 y^2$

$-(25 x^4 + 30 x^2y^2)$

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$\ \ \ \ \ \ -30x^2y^2 - 36 y^4 $

$\ \ \ - ( -30x^2y^2 - 36 y^4)  $

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$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0$

Ein anderer Lösungsweg ergibt sich, wenn man erkennt, dass hier die 3. binomische Formel anwendbar ist. Die linke Seite (der Dividend) hat die Form $a^2-b^2$ mit $a=(5x^2)^2$ und $b=(6y^2)^2$.

Dann sieht die Aufgabe so aus: $(a^2-b^2) \div (a+b) = a-b$

Teilaufgabe b)

$\ \ \ (4x^5+9x^4-12x^3-4x^2+6x-5) \div (x+1) \ \  =\ \  4y^4+5x^3-17x^2+13x-7$   Rest 2

$-(4x^5+4x^4)$

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$\ \ \ \ \ \ \ \ 5x^4 - 12x^3$

$\ \ \ \ -(5x^4 + 5x^3)$

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$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -17x^3 - 4x^2 $

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ -(17x^3 - 17x^2)$

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$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 13x^2 + 6x $

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -(13x^2 + 13x)$

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$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -7x - 5 $

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -(7x -7)$

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$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2$

Ergebnis: $4y^4+5x^3-17x^2+13x-7$   Rest 2

Teilaufgabe c)

$\ \ \ (5x^4+2x^3+9x^2+4x+7) \div (x^2+x+1) \ \ = \ \  5x^2 -3x +7$

$-(5x^4+5x^3+5x^2)$

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$\ \ \ \ \ \ \ \ -3x^3+4x^2+4x$

$\ \ \ \ -(-3x^3-3x^2-3x)$

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$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 7x^2+7x+7$

$\ \ \ \ \ \ \ -(7x^2+7x+7)$

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$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0$

Teilaufgabe d)

$\ \ \ (a^5+b^5) \div (a+b) \ \ = \ \  a^4-a^3b+a^2b^2-a b^3+b^4$

$-(a^5+a^4b)$

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$\ \ \ \ \ \ \ \ -a^4b+b^5$

$\ \ \ \ -(a^4b-a^3b^2)$

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$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ a^3b^2+b^5$

$\ \ \ \ \ \ \ -(a^3b^2+a^2b^3)$

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$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -a^2b^3+b^5$

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -(-a^2b^3-ab^4)$

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$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ab^4+b^5$

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -(ab^4+b^5)$

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$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0$

Teilaufgabe e)

$\ \ \ (a^5-b^5) \div (a-b) \ \ = \ \  a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4$

$-(a^5-a^4b)$

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$\ \ \ \ \ \ \ \ a^4b-b^5$

$\ \ \ \ -(a^4b-a^3b^2)$

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$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ a^3b^2-b^5$

$\ \ \ \ \ \ \ -(a^3b^2-a^2b^3)$

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$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ a^2b^3-b^5$

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -(a^2b^3-ab^4)$

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$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ab^4-b^5$

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -(ab^4-b^5)$

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$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0$

Teilaufgabe f)

$\ \ \ (42x^4-161x^3+79x^2-119x+46) \div (2x-7) \ \ = \ \  21x^3-7x^2+15x-7$

$-(42x^4-147x^3)$

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$\ \ \ \ \ \ \ \ -14x^3+79x^2$

$\ \ \ \ -(-14x^3+49x^2)$

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$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 30x^2-119x$

$\ \ \ \ \ \ \ -(30x^2-105x)$

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$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -14x+46$

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -(-14x+49)$

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$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -3$

Rest: -3