Ebene Normalendarstellung

Hier macht man sich die Eigenschaft des Skalarprodukts zweier Vektoren zunutze, dass es =0 ist, wenn die beiden Vektoren senkrecht aufeinander stehen.

Zunächst haben wir wieder einen Punkt $\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}$ einer Ebene mit dem Stützpunkt $\begin{pmatrix} p_x\\p_y\\p_z \end{pmatrix}$. Der Vektor $\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} p_x\\p_y\\p_z \end{pmatrix}$ ist ein Vektor in der Ebene. Und der Normalenvektor $\begin{pmatrix} n_x\\n_y\\n_z \end{pmatrix}$ ist ein Vektor, der senkrecht auf der Ebene steht. Dann ist das Skalarprodukt  $\begin{pmatrix} n_x\\n_y\\n_z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} p_x\\p_y\\p_z \end{pmatrix} = 0$. Und diese Gleichung nennt man die Normalenform einer Ebene.