Ebene Umformung Parameterdarstellung in Normalendarstellung

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Wenn eine Ebene in Parameterform vorliegt, haben wir den Stützpunktsvektor $\vec p$ und die beiden Vektoren $\vec a$ und $\vec b$, die die Ebene aufspannen. Wir erinnern uns, dass das Kreuzprodukt zweier Vektoren wieder ein Vektor ist, der auf den beiden anderen Vektoren senkrecht steht. Dies nutzen wir nun dazu, um einen Vektor $\vec n$ zu konstruieren, der auf den beiden Vektoren $\vec a$ und $\vec b$ senkrecht steht. Wir berechnen $\vec n = \vec a \times \vec b$. Weil $\vec n$ senkrecht auf der Ebene steht, ist er der Normalenvektor.

Und damit haben wir schon die Normalengleichung der Ebene. $\begin{pmatrix} n_x\\n_y\\n_z \end{pmatrix} \cdot \left[ \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} p_x\\p_y\\p_z \end{pmatrix} \right] = 0$