Ebene Umformung Normalendarstellung in Parameterdarstellung

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Eine Ebene in Normalenform kann nicht direkt in Parameterdarstellung umgewandelt werden. Man benötigt den Umweg Normalenform -> Koordinatenform -> Parameterform.

Zunächst wird in der Normalenform $\vec n \cdot [\vec x - \vec p ] =  \begin{pmatrix} n_x\\n_y\\n_z \end{pmatrix} \cdot \left[ \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} p_x\\p_y\\p_z \end{pmatrix} \right] = 0$  die eckige Klammer ausmultipliziert.

$\vec n \cdot [\vec x - \vec p ] = \vec n \cdot \vec x  - \vec n \cdot \vec p  =  \begin{pmatrix} n_x\\n_y\\n_z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} n_x\\n_y\\n_z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} p_x\\p_y\\p_z \end{pmatrix} = 0$

Jetzt noch die Skalarprodukte ausmultiplizieren: $(n_x x + n_y y + n_z z) - (n_x p_x + n_y p_y + n_z p_z) = 0$ und umformen $(n_x x + n_y y + n_z z) = (n_x p_x + n_y p_y + n_z p_z)$, was eindeutig die Form der Koordinatendarstellung $a x + b y + c z = d$ hat.

Im nächsten Schritt wird die Koordinatenform in die Parameterform umgewandelt.