Aufgabe 208

Aufgabe

Gegeben sei die Vektorgleichung $\vec a = \vec b - 2 ( \vec b \vec c ) \vec c $.

a) berechnen Sie $\vec a$, $\lvert \vec a \rvert$, $\lvert \vec b \rvert$, $\lvert \vec c \rvert$, wenn $\vec b = \frac{1}{\sqrt 5}  \begin{pmatrix} 1\\0\\2 \end{pmatrix}  $, $\vec c = \frac{1}{\sqrt 5}  \begin{pmatrix} 2\\1\\0 \end{pmatrix}  $.

b) zeigen Sie, dass der Winkel zwischen $\vec a$ und $\vec c$ gleich dem Winkel zwischen $-\vec b$ und $\vec c$ ist.

c) Zeigen Sie, dass mit obiger Vektorgleichung allgemein gilt: $\vec a \vec c = - \vec b \vec c$.

Lösungsvorschlag

zu a)

Man setzt $\vec b$ und $\vec c$ in die Gleichung $\vec a = \vec b - 2 ( \vec b \vec c ) \vec c $ ein.

Zunächst die Berechnung des Skalarproduktes: $( \vec b \vec c ) = \frac{1}{5} (2+0+0) = \frac{2}{5}$.  $\frac{1}{\sqrt 5}$ kann ausgeklammert werden. Damit ist
$\vec a = \frac{1}{\sqrt 5} \left( \begin{pmatrix} 1\\0\\2 \end{pmatrix} - \frac{4}{5}  \begin{pmatrix} 2\\1\\0 \end{pmatrix} \right) = \frac{1}{\sqrt 5} \begin{pmatrix} {-\frac{3}{5}} \\ {- \frac{4}{5}} \\ 2 \end{pmatrix}$

$\lvert \vec a \rvert = \frac{1}{\sqrt 5} \sqrt { \frac{9}{25} + \frac{16}{25} + \frac{100}{25} }  =  \frac{1}{\sqrt 5} \sqrt { \frac{125}{25}} =  \frac{1}{\sqrt 5} \sqrt {5}  = 1$

$\lvert \vec b \rvert = \frac{1}{\sqrt 5} \sqrt { 1 + 0 + 4 }  =  \frac{1}{\sqrt 5} \sqrt {5} = 1$

$\lvert \vec c \rvert = \frac{1}{\sqrt 5} \sqrt { 4 + 1 + 0 }  =  \frac{1}{\sqrt 5} \sqrt {5} = 1$

zu b)

Für den Winkel zwischen $\vec a$ und $\vec b$ gilt: $cos \alpha = \frac{\vec a \vec c}{\lvert \vec a \rvert \cdot \lvert \vec c \rvert} = \frac{\frac{1}{5} \left( -\frac{6}{5} -\frac{4}{5} \right)}{1 \cdot 1 }   = \frac{1}{5} \cdot  \left( -\frac{10}{5} \right)  = -\frac{2}{5}   $

Für den Winkel zwischen $-\vec b$ und $\vec c$ gilt: $cos \beta = \frac{-\vec b \cdot \vec c}{\lvert -\vec b \rvert \cdot \lvert \vec c \rvert} = \frac{\frac{1}{5} \left( -2 + 0 + 0 \right)}{1 \cdot 1 }   = -\frac{2}{5}   $

Demnach sind die beiden Winkel gleich.

zu c)

Wir multiplizieren einfach die Gleichung $\vec a = \vec b - 2 ( \vec b \vec c ) \vec c $ (von links) mit $\vec c$ und erhalten

$\vec a \cdot \vec c  ~~=~~  \vec b \cdot \vec c  ~-~   2 ( \vec b \cdot \vec c ) \cdot  \vec c \cdot \vec c  $

Der Ausdruck $ \vec c \cdot \vec c  $  ergibt das Skalarprodukt 1, weil $\vec c \cdot \vec c ~=~ \frac{1}{5} (4 + 1 + 0) = 1$ . Damit wird die Gleichung zu:

$\vec a \cdot \vec c  ~~=~~  \vec b \cdot \vec c  ~-~   2 ( \vec b \cdot \vec c ) $

und

$\vec a \cdot \vec c  ~~=~~  - \vec b \cdot \vec c $

was zu beweisen war.