Aufgabe 312

Aufgabe:

Berechnen sie X aus der Gleichung AX+B=C, wenn  $A ~=~ \begin{pmatrix} 3 & 2 & -1 \\ 1 & 3 & -2 \\ -2 & -2 & 0 \end{pmatrix}$,  $B ~=~ \begin{pmatrix} 3 & 2 & -7 \\ 0 & 0 & 5 \\ 8 & 3 & 1 \end{pmatrix}$ und $C ~=~ \begin{pmatrix} 7 & 10 & 5 \\ -1 & 1 & 8 \\ -2 & -11 & -17 \end{pmatrix}$

Lösungsvorschlag:

Aus AX+B=C folgt durch Umformung $AX ~=~ C-B  ~=~ \begin{pmatrix} 4 & 8 & 12 \\ -1 & 1 & 3 \\ -10 & -14 & -18 \end{pmatrix}$.

Wir teilen die Matrix X auf in ihre 3 Spaltenvektoren $X = ( \vec x_1, \vec x_2, \vec x_3 )$ und die Matrix C-B ebenfalls $C-B = ( \vec b_1, \vec b_2, \vec b_3 )$

Die Lösung von AX=C-B lässt sich dann aufteilen in die Lösung von $A\vec x_1=\vec b_1$, $A\vec x_2=\vec b_2$ und $A\vec x_3=\vec b_3$.

Lösen wir zunächst $A \vec x_1 = \vec b_1 $, also $\begin{pmatrix} 3 & 2 & -1 \\ 1 & 3 & -2 \\ -2 & -2 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x1_1 \\ x1_2 \\ x1_3 \end{pmatrix} ~=~ \begin{pmatrix} 4 \\ -1  \\ -10 \end{pmatrix}$.  Dies können wir beispielsweise nach der Cramerschen Regel durchführen. Dazu müssen wir 4 Determinanten berechnen, um $x1_1 = \frac {det A_1}{det A}$, $x1_2 = \frac {det A_2}{det A}$ und $x1_3 = \frac {det A_3}{det A}$ zu bestimmen.

Zunächst det A nach Sarrus (die schrägen Ovale bitte dazudenken):  $\begin{matrix} 3 & 2 & -1 & 3 & 2 \\ 1 & 3 & -2 & 1 & 3\\ -2 & -2 & 0 & -2 & -2 \end{matrix} ~=~  0 + 8 + 2 - 6 - 12 - 0 = -8$.

Dann $det A_1$ (erste Spalte in A wird durch die rechte Seite im Gleichungssystem (hier also $\vec b_1$) ersetzt) nach Sarrus: $\begin{matrix} 4 & 2 & -1 & 4 & 2 \\ -1 & 3 & -2 & -1 & 3\\ -10 & -2 & 0 & -10 & -2 \end{matrix} ~=~  0 + 40 - 2 - 30 - 16 + 0 = -8$.

Dann $det A_2$ (zweite Spalte in A wird durch $\vec b_1$ ersetzt) nach Sarrus: $\begin{matrix} 3 & 4 & -1 & 3 & 4 \\ 1 & -1 & -2 & 1 & -1\\ -2 & -10 & 0 & -2 & -10 \end{matrix} ~=~  0 + 16 + 10 + 2 - 60 - 0 ~=~ -32 $.

Und $det A_3$ (dritte Spalte in A wird durch $\vec b_1$ ersetzt) nach Sarrus: $\begin{matrix} 3 & 2 & 4 & 3 & 2 \\ 1 & 3 & -1 & 1 & 3\\ -2 & -2 & -10 & -2 & -2 \end{matrix} ~=~  -90  +4 - 8 + 24 -6 + 20 ~=~ -56 $.

Damit wird $x1_1 = \frac {det A_1}{det A} ~=~ \frac {-8}{-8} ~=~ 1$, $x1_2 = \frac {det A_2}{det A} ~=~ \frac {-32}{-8} ~=~ 4$ und $x1_3 = \frac {det A_3}{det A} ~=~ \frac {-56}{-8} ~=~ 7$ und man erhält die erste Spalte der Lösungsmatrix X als $\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 7 \end{pmatrix}$.

Entsprechend berechnet man auch die beiden weiteren Spalten von X, dann unter Verwendung von jeweils der zweiten und dritten Spalte von C-B, also $\vec b_2$ und $\vec b_3$.