Aufgabe 308

Berechne x aus der Gleichung "$det(B) = 0$", Matrix ist $B ~=~ \begin{pmatrix} x^2 & -2 & 4 & 0 \\ x^3 & 0 & 1 & 1 \\ x^4 & 3 & -1 & 5 \\ x^5 & 1 & -3 & 2 \end{pmatrix}$

Wir entwickeln (nach Laplace) nach der ersten Spalte.

$det(B) = (-1)^{1+1} \cdot x^2 \cdot \left| \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1 \\ 3 & -1 & 5 \\ 1 & -3 & 2 \end{array} \right| \ +\  (-1)^{1+2} \cdot x^3 \cdot \left| \begin{array}{ccc} -2 & 4 & 0 \\ 3 & -1 & 5 \\ 1 & -3 & 2 \end{array} \right| \ +\ $

$  (-1)^{1+3} \cdot x^4 \cdot \left| \begin{array}{ccc} -2 & 4 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & -3 & 2 \end{array} \right| \ +\ (-1)^{1+4} \cdot x^5 \cdot \left| \begin{array}{ccc} -2 & 4 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 3 & -1 & 5 \end{array} \right|$

$det(B) = (-1)^{1+1} \cdot x^2 \cdot (-11) \ +\  (-1)^{1+2} \cdot x^3 \cdot (-30)\ +\   (-1)^{1+3} \cdot x^4 \cdot (-6) \ +\ (-1)^{1+4} \cdot x^5 \cdot 0$

$det(B) =  x^2 \cdot (-11) \ -\   x^3 \cdot (-30)\ +\  x^4 \cdot (-6) $

$det(B) =  -6 x^4  + 30  x^3  -11  x^2 $

Aus $det(B) = 0$ erhält man die Gleichung $-6 x^4  \ +\ 30  x^3 -11  x^2 = 0$.  Eine (doppelte) Lösung ist x=0. Für $x \ne 0$ kann man die Gleichung durch $x^2$ dividieren und erhält $-6 x^2  \ +\ 30  x -11 = 0$, welches nach der Mitternachtsformel lösbar sein dürfte.

Nächste Matrix: $C=\begin{pmatrix} 1 & x^3 & x^2 & x \\ 0 & x-1 & 2 & -x \\ 0 & 0 & x-1 & x \\ 0 & 0 & 2x & x-1 \end{pmatrix}$

Auch hier bietet sich die Entwicklung nach der ersten Spalte an (weil es da so viele Nullen gibt, vereinfacht sich das gewaltig).

$det(C) = (-1)^{1+1} \cdot 1 \cdot \left| \begin{array}{ccc} x-1 & 2 & -x \\ 0 & x-1 & x \\ 0 & 2x & x-1 \end{array} \right| \ +\  0 \ +\  0 \ +\  0$

Die 3x3 Determinate lässt sich leicht nach Sarrus berechnen: $-x^3-x^2+3x-1$. Damit wird $det(C) = -x^3-x^2+3x-1$. Und wir müssen die Gleichung $det(C) =0$ lösen, also $-x^3-x^2+3x-1=0$. Eine Lösung kann man raten $x=1$, dann erhält man nach Polynomdivision durch $x-1$ die Gleichung $-x^2-2x+1=0$, die man wiederum per Mitternachtsformel löst.