Aufgabe 212

Aufgabe

Berechnen Sie das Volumen des Spates, das aufgespannt wird von den Vektoren

$\vec a = \begin{pmatrix} 1\\2\\3\end{pmatrix}$,  $\vec b = \begin{pmatrix} -1\\0\\2\end{pmatrix}$ und $\vec c = \begin{pmatrix} 3\\4\\0\end{pmatrix}$

Lösungsvorschlag

Das Volumen des Spates wird berechnet aus dem Betrag eines Skalarprodukt eines Kreuzproduktes der beiden ersten Vektoren mit dem dritten Vektor, also $V_{Spat} = \left| (\vec a \times \vec b) \cdot \vec c \right|$. (siehe auch http://de.wikipedia.org/wiki/Spatprodukt )

$V_{Spat} ~=~ \left| \left( \begin{pmatrix} 1\\2\\3\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -1\\0\\2\end{pmatrix} \right) \cdot \begin{pmatrix} 3\\4\\0\end{pmatrix} \right|$

$V_{Spat} ~=~ \left| \begin{pmatrix} 4-0\\-3-2\\0+2\end{pmatrix}  \cdot \begin{pmatrix} 3\\4\\0\end{pmatrix} \right| ~=~ \left| \begin{pmatrix} 4\\-5\\2\end{pmatrix}  \cdot \begin{pmatrix} 3\\4\\0\end{pmatrix} \right|$

$V_{Spat} ~=~ \left| 4 \cdot 3 ~+~(-5) \cdot 4 ~+~ 2 \cdot 0 \right| ~=~ \left| 12 - 20 + 0 \right| ~=~ 8 $