Aufgabe 405

Aufgabe:

Berechnen Sie $(1-i)^{13}$,  $(\sqrt 3 + i)^9$,  $\sqrt [3]{-8}$,  $\sqrt [5]{-i}$,  $\sqrt [3]{-1+i}$

Hilfreiche Links:
http://wiki.math.se/wikis/2009/bridgecourse2-TU-Berlin/index.php/3.1_Rec...
http://wiki.math.se/wikis/2009/bridgecourse2-TU-Berlin/index.php/3.2_Pol...
http://wiki.math.se/wikis/2009/bridgecourse2-TU-Berlin/index.php/3.3_Pot...

Lösungsvorschlag:

Berechnung von $(1-i)^{13}$:

Methode 1:

Umwandeln in Exponentialform: $(1-i) \ =\  |1-i| \cdot e^{i \phi}$. Der Winkel $\phi$ beträgt 45° nach unten, also -45° oder auch $-\frac{\pi}{4}$.  Und $|1-i| = \sqrt 2$.  In dieser Form ist die Aufgabe ein einfaches Anwenden der Potenzregeln.

$(1-i)^{13} \ =\ (\sqrt 2 e^{-i \frac{\pi}{4}} )^{13} \ =\  ( \sqrt 2)^{13} \cdot e^{-i \frac{\pi}{4} \cdot 13} \ =\   2^{6} \cdot \sqrt 2 \cdot e^{-i \frac{13\pi}{4}} $

Methode 2:

Stumpfsinniges mehrfaches Ausmultiplizieren und Zusammenfassen der arithmetischen Form ($(1-i)^{13}$) führt auf: $-64+64i$.

Methode 3:

Es gibt aber eine etwas unterhaltsamere Methode: 

$(1-i)^1 = 1-i$ beschreibt einen Pfeil der Länge $\sqrt 2$ nach "Süd-Ost" in der komplexen Ebene (vom Nullpunkt um 1 nach rechts und um 1 nach unten (nach unten = i))
$(1-i)^2 = 0-2i$ beschreibt einen Pfeil der Länge $(\sqrt 2)^2=2$ nach "Süd" (also um 2 nach unten)
$(1-i)^3 = -2-2i$ beschreibt einen Pfeil $(\sqrt 2)^3=2\sqrt2$ nach "Süd-West"
$(1-i)^4 = -4-0i$ beschreibt einen Pfeil $(\sqrt 2)^4=2*2=4$ nach "West"
$(1-i)^5$  beschreibt einen Pfeil $(\sqrt 2)^5=4\sqrt 2$ nach "Nord-West"
und so weiter.

Mit jeder Erhöhung der Potenz dreht sich der Ergebnispfeil um 45° im Uhrzeigersinn weiter. Angefangen hat es mit $(1-i)^1$, einem Pfeil nach "Süd-Ost". 

Zählt man nun einfach weiter bis 13, so wird klar, dass  $(1-i)^{13}$ einen Pfeil nach "Nord-West" beschreibt. Die Länge des Pfeils wächst auch regelmäßig um den Faktor $\sqrt 2$. Die Länge von $(1-i)^{13}$ ist  $(\sqrt 2)^{13}=(\sqrt 2)^{12}\sqrt 2=2^6*\sqrt 2=64\sqrt 2$. Das ist die Länge der Diagonale in einem Quadrat mit Seitenlänge 64 (Pythagoras lässt grüßen).

Damit könnte man allein durch "Abzählen" auch auf das Ergebnis kommen.

Berechnung von $(\sqrt 3 + i)^9$:

Mehrfaches Ausmultiplizieren und Zusammenfassen führt auf $(\sqrt 3 + i)^9 ~=~ 0 -512i$.

Berechnung von $\sqrt [3]{-8}$:

$\sqrt [3]{-8} ~=~ -2$  weil $(-2)^3 = -8$ erscheint naheliegend, ist aber unvollständig, weil es zwei weitere Lösungen gibt. Beispielsweise ist, wie man leicht durch Einsetzen prüfen kann, $1 + \sqrt 3 i$ eine weitere Lösung.

Man muß die Lösungen z der Gleichung $z^3 = -8 = -8+0i$ suchen. Eine solche Zahl z kann man als z=a+bi schreiben.

Aus $(a+bi)^3 = -8$ erhält man durch Ausmultiplizieren $a^3+3a^2bi+3ab^2i^2+i^3 ~=~-8 + 0i$  und
$a^3 + 3a^2bi - 3ab^2 - i ~=~-8 + 0i$ und $a^3 - 3ab^2  ~+~ (3a^2b -1 )i ~=~-8 + 0i$

Wenn man nun einen Vergleich der Realteile und der Imaginärteile macht, erhält man 2 Gleichungen für 2 Unbekannte:

$a^3 - 3ab^2~=~-8$ und  $3a^2b -1 ~=~0$. Leider führt dieser Weg irgendwie nicht auf die oben angegebene Lösung - warum auch immer (vielleicht auch ein Fehler meinerseits).

Ein auf jeden Fall gangbarer Weg ist über die Darstellung der Zahlen in Polarform.  Komplexe Zahlen kann man auch in der Form $z = r (cos \alpha +  i sin \alpha )$ darstellen. Dabei ist $\alpha$ der Winkel zwischen der (positiven) reellen Achse und dem Ursprungsvektor der komplexen Zahl und $r=\left| z \right|$. Dieser Winkel wird auch das "Argument von z" genannt, kurz: arg z.

In dieser Polarform kann man auch ganz einfach zwei komplexe Zahlen $z=\left| z \right| (cos \alpha + i sin \alpha)$ und $w=\left| w \right| (cos \beta + i sin \beta)$ multiplizieren: $z \cdot w ~=~ \left| z \right| \left| w \right| (cos ( \alpha + \beta) + i sin(\alpha+\beta))$. Als Spezialfall hieraus erhält man $z^n={\left| z \right|}^n (cos n \alpha + i sin n \alpha)$.

Zurück zur Definition:  Eine Zahl z heißt n-te Wurzel aus einer Zahl w, wenn $z^n=w$. 

Diese Gleichung schreibt man nun in Polarform: $z^n={\left| z \right|}^n (cos n \alpha + i sin n \alpha) ~=~ \left| w \right| (cos \phi + i sin \phi)$. 

Vergleicht man beide Seiten, so erkennt man, dass einmal ${\left| z \right|}^n =\left| w \right|$ und $n \alpha = \phi +(k\cdot 2 \pi)$ mit $k \in \mathbb{Z}$ sein muss.  $(k\cdot 2 \pi)$ deswegen, weil sin und cos ja periodische Funktionen sind. 

Aus diesen beiden Gleichungen folgt die Lösung: $\left| z \right| = \sqrt [n] {\left| w \right|}$ und $\alpha = \frac {\phi + 2 \pi k}{n}$.

Damit lösen wir jetzt unsere Aufgabe $z^3=-8$. Die rechte Seite in Polarform ist $-8 = 8 (cos \pi + i sin \pi) = 8 (cos 180° + i sin 180°)$. Wir erhalten $\left| z \right| = \sqrt [3] 8 = 2$ und $\alpha = \frac {\pi + 2 \pi k}{3}$.

Damit haben wir 3 Lösungen:

Berechnung von $\sqrt [5]{-i}$:

Wir bestimmen wie vorstehend z  aus $z^5 = -i$. Die rechte Seite in Polarform ist $-i = 1 (cos \frac 3 2 \pi + i sin \frac 3 2 \pi) = 1 (cos 270° + i sin 270°)$. Wir erhalten $\left| z \right| = \sqrt [5] 1 = 1$ und $\alpha = \frac {\frac 3 2 \pi + 2 \pi k}{5}$.

Damit haben wir 5 Lösungen:

Berechnung von $\sqrt [3]{-1+i}$:

Wie zuvor ist die Lösung von $z^3=-1+i$ gesucht. In Polarform: $-1+i ~=~ \sqrt 2 (cos \frac 3 4 \pi + i sin \frac 3 4 \pi) ~=~ \sqrt 2 (cos 135° + i sin 135°)$. Dann erhalten wir für $\left| z \right| = \sqrt [3] {\sqrt 2} = \sqrt [6] 2$ und $\alpha = \frac {\frac 3 4 \pi + 2 \pi k}{3}$.

Es gibt 3 Lösungen: