Aufgabe 215

Aufgabe

Ermitteln Sie die Schnittgerade der beiden Ebenen. Unter welchem Winkel schneiden sich die
beiden Ebenen?
$\vec r ~=~ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}$ und $\vec r ~=~ \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -1\\0\\1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -1\\1\\0 \end{pmatrix}$

Lösungsvorschlag

==> Schnittgerade der Ebenen

Lösungsweg 1 (gleichsetzen der beiden Ebenengleichungen)

Aufpassen:  die Parameter s und t muss man unterschiedlich benennen, deswegen wird für die 2. Ebene u und v dafür verwendet!

$\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} ~=~ \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} + u \begin{pmatrix} -1\\0\\1 \end{pmatrix} + v \begin{pmatrix} -1\\1\\0 \end{pmatrix}$

$s \begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} - u \begin{pmatrix} -1\\0\\1 \end{pmatrix} - v \begin{pmatrix} -1\\1\\0 \end{pmatrix} ~=~ \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$s \begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} - u \begin{pmatrix} -1\\0\\1 \end{pmatrix} - v \begin{pmatrix} -1\\1\\0 \end{pmatrix} ~=~ \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} $

liefert 3 Gleichungen für 4 Unbekannte:

$s~~~~ + u + v = 0$   (I)
$s~~~~~~~~~~- v = 0$   (II)
$~~~~~t - u~~~~~ = 1$   (III)

Aus diesen Gleichungen versuchen wir nun durch geeignetes Einsetzen zumindest u und v zu eliminieren: aus (II) folgt s = v, das setzen wir in (I) ein und erhalten (I'): 2s + u = 0.

Aus (III) folgt u = t - 1, das setzen wir in (I') ein und erhalten 2s + t - 1 = 0  und daraus t = 1 - 2s.

Dies können wir nun in die erste Ebenengleichung einsetzen und erhalten eine Gleichung mit nur noch einem Parameter (s):
$\vec r ~=~ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix} + (1 - 2 s) \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}~=~ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} - 2s \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}$

$\vec r ~=~  \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix} - 2s \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} ~=~ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix} - s \begin{pmatrix} 0\\0\\2 \end{pmatrix} ~=~ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 1\\1\\-2 \end{pmatrix}$

Damit wäre $\vec r ~=~  \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 1\\1\\-2 \end{pmatrix}$ die gesuchte Schnittgerade.

Lösungsweg 2 (über Umwandlung einer Ebenengleichungen in Koordinatenform)

Liegt eine der Ebenengleichungen in Koordinatenform vor, gestaltet sich die Rechnerei etwas einfacher. Um dies zu zeigen muss in dieser Aufgabe aber erst eine der Ebenengleichungen in diese Form umgewandelt werden. Wir nehmen hier die erste Ebenengleichung und verwenden den Rechenweg, der in http://www.mathe-abi.org/Ebenen/parameterform-koordinatenform.html als "2. Möglichkeit" beschrieben ist.

$\vec r ~=~ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}$

Wir bestimmen den Normalenvektor (das ist das Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren)

$\begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} ~=~ \begin{pmatrix} 1\\-1\\0 \end{pmatrix}$

Die Komponenten dieses Normalenvektors ergeben die Vorfaktoren von x, y und z in der Normalengleichung, also $1 \cdot x + (-1) \cdot y + 0 \cdot z = d$. Oder vereinfacht: $x -  y = d$.

Den Wert von "d" bestimmt man durch Einsetzen eines Punktes der Ebene (der Einfachkeit halber können wir den Stützpunkt (hier $\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$) nehmen): $d = x - y = 0 - 0 = 0$.

Die Koordinatenform der Ebenengleichung ist also: $x - y = 0$.

Bestimmung der Schnittgeraden

Hierzu setzt man die Ebene in Parameterform in die Ebene im Koordinatenform ein, vereinfacht und löst nach einem der Parameter auf. Diesen kann man dann in der Parameterform ersetzen und hat die Gleichung der Schnittgeraden.

Die zweite Ebene $\vec r ~=~ \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -1\\0\\1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -1\\1\\0 \end{pmatrix}$ wird geschieben als $\begin{pmatrix} {x = 0 - 1s - 1t}\\{y = 0 + 0s + 1t}\\{z = 1 + 1s + 0t} \end{pmatrix}$ und vereinfacht $\begin{pmatrix} {x = -s - t}\\{y = t}\\{z = 1 + s} \end{pmatrix}$.

Diese setzt man nun in die Koordinatenform der anderen Ebene ein:

$x - y = 0$ wird zu $(-s-t) - (t) = 0$
$-s - 2t = 0$
$s = -2t$

Dies setzt man nun in die Parametergleichung der zweiten Ebene ein:

$\vec r ~=~ \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} -2t \begin{pmatrix} -1\\0\\1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -1\\1\\0 \end{pmatrix}$

und erhält die Gleichung der Schnittgeraden:

$\vec r ~=~ \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}  + t \begin{pmatrix} 1\\1\\-2 \end{pmatrix}$

==> Schnittwinkel der beiden Ebenen

Aus einer einfachen Überlegung heraus erkennt man, dass der Schnittwinkel der beiden Ebenen auch im Winkel zwischen den beiden Normalenvektoren dieser Ebenen wiederzufinden sein muss.

Den Normalenvektor einer Ebene erhält man, indem man das Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren bildet. Der Normalenvektor der ersten Ebene ist also $\vec n_1 ~=~ \begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} ~=~ \begin{pmatrix} 1\\-1\\0 \end{pmatrix}$ und für die zweite Ebene $\vec n_2 ~=~ \begin{pmatrix} -1\\0\\1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -1\\1\\0 \end{pmatrix}  ~=~ \begin{pmatrix} -1\\-1\\-1 \end{pmatrix}$

Für den Winkel zwischen $\vec n_1$ und $\vec n_2$ gilt: $$cos \alpha ~=~ \frac{\vec n_1 \cdot \vec n_2}{\left|\vec n_1 \right| \cdot \left| \vec n_2 \right|} ~=~ \frac{\begin{pmatrix} 1\\-1\\0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1\\-1\\-1 \end{pmatrix}}{\left| \sqrt {1+1+0} \right| \cdot \left| \sqrt {1+1+1} \right|} ~=~ \frac{ -1 + 1 + 0 }{\sqrt {6} } ~=~ 0$$

Wenn $cos \alpha = 0$ ist, dann ist $\alpha = 90° bzw. 270°$.  Die beiden Ebenen stehen also senkrecht aufeinander.