Aufgabe 211

Aufgabe

Beweisen Sie den Ausdruck ${\lvert \vec a \times \vec b \rvert}^2 ~=~ {\vec a}^2 {\vec b}^2 ~-~ {(\vec a \vec b)}^2 $

Lösungsvorschlag

Also zunächst mal die Frage was steht denn da?  Auf der linken Seite haben wir ein Kreuzprodukt, dessen Ergebnis ein Vektor ist und davon die Länge (den Betrag) und davon das Quadrat. Auf der rechten Seite stehen 3 Skalarprodukte ${\vec a}^2 = \vec a \cdot \vec a$, ${\vec b}^2 = \vec b \cdot \vec b$  minus dem Quadrat von $\vec a \cdot \vec b$.

Wie könnte nun eine Lösung aussehen? Vielleicht allgemein die Vektoren z.B. in ${\mathbb{R}}^3$ formulieren und drauflosrechnen?

ACHTUNG:  Struktur und Übersicht behalten - dann geht alles glatt!

Versuchen wir es mal mit der linken Seite:

${\left| \vec a \times \vec b \right|}^2 ~=~ {\left| \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} \right|}^2 ~=~ {\left| \begin{pmatrix} a_2 b_3 - a_3 b_2 \\ a_3 b_1 - a_1 b_3 \\ a_1 b_2 - a_2 b_1 \end{pmatrix} \right|}^2 ~=~ {\left( \sqrt{ (a_2 b_3 - a_3 b_2)^2+ (a_3 b_1 - a_1 b_3)^2 + (a_1 b_2 - a_2 b_1)^2 } \right)}^2$

${\left| \vec a \times \vec b \right|}^2 ~=~  (a_2 b_3 - a_3 b_2)^2 ~+~ (a_3 b_1 - a_1 b_3)^2 ~+~ (a_1 b_2 - a_2 b_1)^2 $

Aus der rechten Seite erhält man:
${\vec a}^2 {\vec b}^2 ~-~ {(\vec a \vec b)}^2 ~=~ (a_1^2 + a_2^2 + a_3^2)(b_1^2 + b_2^2 + b_3^2) ~-~ ( a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3)^2 $
längliches Ausmultiplizieren:
${\vec a}^2 {\vec b}^2 ~=~ (a_1^2 + a_2^2 + a_3^2)(b_1^2 + b_2^2 + b_3^2) $
${\vec a}^2 {\vec b}^2 ~=~  a_1^2b_1^2 + a_1^2b_2^2 + a_1^2b_3^2 + a_2^2b_1^2 + a_2^2b_2^2 + a_2^2b_3^2 + a_3^2b_1^2 + a_3^2b_2^2 + a_3^2b_3^2 $
und
$(\vec a \vec b)^2 ~=~ (a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3)( a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3) $
$(\vec a \vec b)^2 ~=~ a_1^2b_1^2 + a_1b_1a_2b_2 + a_1b_1a_3b_3 ~+~ a_2b_2a_1b_1 + a_2^2b_2^2 + a_2b_2a_3b_3 ~+~ a_3b_3a_1b_1 + a_3b_3a_2b_2 + a_3^2b_3^2$

$(\vec a \vec b)^2 ~=~ a_1^2b_1^2 + 2a_1b_1a_2b_2 + 2a_1b_1a_3b_3 ~+~  a_2^2b_2^2 + 2a_2b_2a_3b_3 ~+~ a_3^2b_3^2$

Jetzt bildet man die Differenz und fasst geschickt zusammen:
${\vec a}^2 {\vec b}^2 ~-~ {(\vec a \vec b)}^2 ~=~ a_1^2b_2^2 ~-~ 2 a_1b_1a_2b_2 ~+~ a_2^2b_1^2 \\
~~~~~~~~~~+~ a_1^2b_3^2 ~-~ 2 a_1b_1a_3b_3 ~+~ a_3^2b_1^2 \\
~~~~~~~~~~+~ a_2^2b_3^2 ~-~ 2 a_2b_2a_3b_3 ~+~ a_3^2b_2^2$

Nun wendet man noch die 2. Binomische Formel (rückwärts) an und erhält
$(a_1 b_2 - a_2 b_1)^2 ~~+~~ (a_3 b_1 - a_1 b_3)^2 ~~+~~ (a_2 b_3 - a_3 b_2)^2$
was genau der Ausdruck ist, der auch auf der linken Seite (siehe oben) steht.

Damit ist der Ausdruck der Aufgabe bewiesen.