Aufgabe 213

Aufgabe

Für welche Werte von t liegen A(1|1|1), B(1|0|1), C(0|2|1) und D(1|2|t) in einer Ebene?

Lösungsvorschlag

Die 3 Punkte A, B und C definieren eine Ebene. Diese wird durch die Vektoren $\vec {AB}$ und $\vec {AC}$ aufgespannt, wobei $\vec{AB} = \vec A - \vec B ~=~ \begin{pmatrix} 0\\1\\0  \end{pmatrix}$  und $\vec{AC} = \vec A - \vec C ~=~ \begin{pmatrix} 1\\-1\\0  \end{pmatrix}$

Wenn jetzt der Vektor $\vec {AD}$ in dieser Ebene liegen soll, muss man eine Bedingung dafür finden. Das Spatprodukt dieser drei Vektoren wäre dafür verwendbar, weil das Spatprodukt dreier Vektoren, die in einer Ebene liegen (also komplanar oder linear abhängig sind) gleich Null ist. (siehe auch http://de.wikipedia.org/wiki/Spatprodukt )

Man kann also setzen: $(\vec {AB} \times \vec {AC}) \cdot \vec {AD} ~=~0$.

Ausführlich wird daraus

$(\begin{pmatrix} 0\\1\\0  \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1\\-1\\0  \end{pmatrix}) \cdot \begin{pmatrix} 0\\-1\\1-t  \end{pmatrix} ~=~0$.

$\begin{pmatrix} 0\\0\\-1  \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0\\-1\\1-t  \end{pmatrix} ~=~0$.

$\begin{pmatrix} 0\\0\\-1  \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0\\-1\\1-t  \end{pmatrix} ~=~0$.

$0 \cdot 0 ~+~ 0 \cdot (-1) ~+~(-1) \cdot (1-t) ~~=~~ 0$

$t - 1 = 0$

$t ~=~ 1 $