Aufgabe 404

Aufgabe:

Für welche $a \in \mathbb{R}$ stehen die komplexen Zahlen $z_1=3+4i$ und $z_2=a+2i$ senkrecht aufeinander?

Lösungsvorschlag:

Wir erinnern uns, dass komplexe Zahlen als Punkte in der komplexen Zahlenebene dargestellt werden. Punkte können aber schlecht senkrecht aufeinanderstehen. Dann nimmt man eben die Interpretation, dass eine komplexe Zahl auch als Ursprungsvektor in dieser Ebene dargestellt werden kann.

Und Vektoren stehen dann senkrecht aufeinander, wenn .... (genau) ihr Skalarprodukt =0 ist.

$\vec z_1 \cdot \vec z_2 ~=~ \begin{pmatrix} 3\\4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a\\2 \end{pmatrix} ~=~ 3a + 8 ~=~0$

Durch Umformen erhält man $3 a = -8$ und schließlich $a = \frac {-8}{3}$.  Damit steht $\vec z_{2a} ~=~ \begin{pmatrix} \frac {-8}{3} \\2 \end{pmatrix}$ senkrecht auf $\vec z_1$.

Das wäre aber nur eine der beiden Möglichkeiten. Der Vektor  $\vec z_{2b} = - \vec z_{2a} ~=~ \begin{pmatrix} \frac {8}{3} \\ -2 \end{pmatrix}$  in die Gegenrichtung  steht ebenfalls senkrecht auf $\vec z_1$.   Dieser Vektor würde allerdings eine komplexe Zahl der Form $a-2i$ darstellen, und das widerspricht der Aufgabenstellung. Damit dürfte $a = \frac {-8}{3}$ auch die einzige Lösung sein.