Aufgabe 209

Aufgabe

Berechnen Sie den Ausdruck: $\vec i \times ((\vec j \times \vec k ) \times \vec i ~-~(\vec i \times \vec j) \times (\vec j \times \vec k ))$
$\vec i$, $\vec j$, $\vec k$ sind Einheitsvektoren in den 3 Koordinatenrichtungen x, y und z.

Bemerkungen zum Kreuzprodukt:
http://www.mathe-online.at/materialien/hannah.theil/files/Testpfad/Das_K...
http://de.serlo.org/mathe/geometrie/analytische-geometrie/skalarprodukt-...

Lösungsvorschlag

die Einheitsvektoren sind: $\vec i = \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}$, $\vec j = \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix}$ und $\vec k = \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}$

Damit wird aus der ersten (und dritten) inneren Klammer $\vec j \times \vec k  =  \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} = \vec i$
Die zweite innere Klammer berechnet sich zu $\vec i \times \vec j  =  \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} = \vec k$

Der zu berechnende Ausdruck wird damit zu $\vec i \times (\vec i \times \vec i ~-~ \vec k \times \vec i)$
Es berechnet sich $\vec i \times \vec i =  \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} \times  \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} $  und  $\vec k \times \vec i  =  \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} \times  \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix} = \vec j$

Der zu berechnende Ausdruck vereinfacht sich damit weiter zu $\vec i \times (\vec 0 ~-~ \vec j) = \vec i \times -\vec j = \begin{pmatrix} 0\\0\\-1 \end{pmatrix} = -\vec k$