Aufgabe 203

Die Kraft $\vec F$ mit $| \vec F | = 100N$ zeigt in Richtung $\vec d$.  $\vec d = \begin{pmatrix} 1\\2\\-1 \end{pmatrix}$.  $\vec F$ soll in Richtung von $\vec a = \begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix}$, $\vec b = \begin{pmatrix} 1\\-1\\0 \end{pmatrix}$ und $\vec c = \begin{pmatrix} 1\\0\\-1 \end{pmatrix}$ zerlegt werden.  Wie groß sind die Beträge von $\vec F_a$, $\vec F_b$ und $\vec F_c$?

Wie gehen wir vor?

1. Zunächst rechnen wir den Einheitsvektor $\vec d_e$ aus. Wenn wir den haben, müssen wir ihn nur mit 100 multiplizieren und erhalten $\vec F$. 
2. Danach stellen wir mit den Koordinaten von  $\vec F$, $\vec a$, $\vec b$ und $\vec c$ 3 Gleichungen auf und berechnen, wie sich $\vec F$ aus $\vec a$, $\vec b$ und $\vec c$ zusammensetzt.

Die Länge von $\vec d$ berechnet sich so: $| \vec d | = \sqrt{1^2+2^2+(-1)^2} = \sqrt{1+4+1}= \sqrt{6}$. Dann ist $\vec d_e = \frac{1}{\sqrt{6}} \vec d$ und damit $\vec F = \frac{100}{\sqrt{6}} \begin{pmatrix} 1\\2\\-1 \end{pmatrix}$. 

Damit können wir nun die Vektorgleichung $\vec F = r \cdot \vec a + s \cdot \vec b + t \cdot \vec c$ und die 3 Gleichungen für die 3 Koordinatenrichtungen aufstellen. Dann rechnen wir r,s,t aus. $\vec F_a$ wäre dann $r \cdot \vec a$, die beiden anderen Kraftvektoren entsprechend.

$\frac{100}{\sqrt{6}} \begin{pmatrix} 1\\2\\-1 \end{pmatrix} = r \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1\\-1\\0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\-1 \end{pmatrix}$

Daraus erstellen wir die 3 Gleichungen mit den Unbekannten r, s und t.

Gl.1:  $\frac{100}{\sqrt{6}} \cdot 1  = r \cdot 1 + s \cdot 1 + t \cdot 1$

Gl.2:  $\frac{100}{\sqrt{6}} \cdot 2 = r \cdot 0 + s \cdot (-1) + t \cdot 0$

Gl.3:  $\frac{100}{\sqrt{6}} \cdot (-1) = r \cdot 1 + s \cdot 0 + t \cdot (-1)$

oder etwas vereinfacht:

Gl.1:  $\frac{100}{\sqrt{6}}  = r  + s  + t$

Gl.2:  $\frac{200}{\sqrt{6}} = -s$   bzw.  $\frac{-200}{\sqrt{6}} = s$

Gl.3:  $\frac{-100}{\sqrt{6}}  = r - t$

Gl.2 können wir in Gl.1 einsetzen und erhalten  $\frac{100}{\sqrt{6}}  = r  - \frac{200}{\sqrt{6}}  + t$ oder $\frac{300}{\sqrt{6}}  = r  + t$.

Die beiden verbleibenden Gleichungen

Gl.1a:  $\frac{300}{\sqrt{6}}  = r  + t$  und 

Gl.3:   $\frac{-100}{\sqrt{6}}  = r - t$

können wir addieren und damit "t" eliminieren.  Wir erhalten:

$\frac{300}{\sqrt{6}} +  \frac{-100}{\sqrt{6}} = r$  und 

$r = \frac{200}{\sqrt{6}}$.

Dieses r setzen wir in Gl.1a ein:  $\frac{300}{\sqrt{6}}  = \frac{200}{\sqrt{6}} + t$  und erhalten $t = \frac{100}{\sqrt{6}}$.

Mit diesen Werten von r, s und t sieht die Zerlegung von $\vec F$ also so aus:

$\frac{100}{\sqrt{6}} \begin{pmatrix} 1\\2\\-1 \end{pmatrix} = \frac{200}{\sqrt{6}} \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix} + \frac{-200}{\sqrt{6}} \cdot \begin{pmatrix} 1\\-1\\0 \end{pmatrix} + \frac{100}{\sqrt{6}} \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\-1 \end{pmatrix}$ und die Teilvektoren sind:

$\vec F_a = \frac{200}{\sqrt{6}} \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix}$

$\vec F_b = \frac{-200}{\sqrt{6}} \cdot \begin{pmatrix} 1\\-1\\0 \end{pmatrix}$

$\vec F_c = \frac{100}{\sqrt{6}} \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\-1 \end{pmatrix}$

und

$| \vec F_a| = \frac{200}{\sqrt{6}} \cdot \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} \quad = \frac{200}{\sqrt{6}} \cdot \sqrt{2} \quad =  \frac{200}{\sqrt{3}} $

$| \vec F_b | = \frac{-200}{\sqrt{6}} \cdot \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 0^2} \quad = \frac{-200}{\sqrt{6}} \cdot \sqrt{2} \quad =  \frac{-200}{\sqrt{3}} $

$| \vec F_c | = \frac{100}{\sqrt{6}} \cdot \sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2} \quad = \frac{100}{\sqrt{6}} \cdot \sqrt{2} \quad = \frac{100}{\sqrt{3}} $

Fettisch.