Aufgabe 216

Aufgabe

Wie lautet die Gleichung der von $\vec a ~=~ \begin{pmatrix} 1\\2\\5 \end{pmatrix}$ und $\vec b ~=~ \begin{pmatrix} 1\\-2\\-1 \end{pmatrix}$ aufgespannten und durch den Ursprung gehenden Ebene E ? Bestimmen Sie einen in E verlaufenden Einheitsvektor, der auf $\vec a$ senkrecht steht.

Lösungsvorschlag

Die Gleichung der Ebene ist in Parameterform leicht aufzustellen. Da sie durch den Ursprung gehen soll, nehmen wir einfach den Ursprungsvektor als Stützvektor und die Parameter s und t für die Spannvektoren.

$\vec r_{Ebene} ~=~ \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} + s  \begin{pmatrix} 1\\2\\5 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1\\-2\\-1 \end{pmatrix}$.

Für die Bestimmung eines Einheitsvektors in dieser Ebene, der senkrecht auf $\vec a$ steht, sucht man zunächst einen Vektor in dieser Ebene, der senkrecht auf $\vec a$ steht und verkürzt ihn dann entsprechend. Ob ein Vektor senkrecht zu einem anderen ist, kann man über das Skalarpodukt ermitteln - das ist dann =0.

Wir suchen also zunächst Parameter s und t für die gilt $\vec r_{Ebene} \cdot \vec a ~= ~0$

$\left( s  \begin{pmatrix} 1\\2\\5 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1\\-2\\-1 \end{pmatrix} \right) \cdot \begin{pmatrix} 1\\2\\5 \end{pmatrix} ~=~ 0$

$\begin{pmatrix} s + t\\2s-2t\\5s-t \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\2\\5 \end{pmatrix} ~=~ 0$

$1(s + t) + 2(2s-2t) + 5(5s-t) ~=~ s + t + 4s - 4t + 25s - 5t ~=~ 30s - 8t ~=~ 0$

Man hat also $30s - 8t = 0$ oder $15s - 4t = 0$ oder $15s = 4t$.  Wählt man $s=1$, ergibt sich dazu $t = \frac{15}{4}$.

Der setzt man nun in die Ebenengleichung ein und erhält einen zu $\vec a$ senkrechten Vektor:

$\vec r_{senkrecht zu~\vec a} ~=~ \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} + 1  \begin{pmatrix} 1\\2\\5 \end{pmatrix} + \frac{15}{4} \begin{pmatrix} 1\\-2\\-1 \end{pmatrix} ~=~ \begin{pmatrix} 1 + \frac{15}{4}\\ 2 - \frac{30}{4} \\5 - \frac{15}{4}  \end{pmatrix} ~=~ \begin{pmatrix} \frac{19}{4}\\ -\frac{22}{4} \\ \frac{5}{4}  \end{pmatrix}$.  Der 4-fach längere Vektor $\begin{pmatrix} 19\\-22\\5  \end{pmatrix}$ ist ebenfalls senkrecht auf $\vec a$. Dessen Länge beträgt $\sqrt {19^2 + (-22)^2 + 5^2} = \sqrt {870}$. Dann wäre $\frac{1}{\sqrt {870}} \begin{pmatrix} 19\\-22\\5  \end{pmatrix}$ ein Einheitsvektor in der Ebene, der senkrecht zu $\vec a$ ist.