Aufgabe 214

Aufgabe

Geben Sie die Punkt-Richtungs-Gleichung der Geraden durch die Punkte P(1|-2|3) und Q(-4|0|5) an.

Für welchen Parameterwert $\lambda$ ergibt sich der Mittelpunkt der Strecke $\overline {PQ}$?

Geben Sie die übrigen Koordinaten des Punktes $P_0$ mit $z_0=-1$ an, wenn $P_0$ auf der Geraden liegt.

In welchem Punkt durchstösst die Gerade die Ebene mit der Gleichung x+y+z=3 ?

Lösungsvorschlag

==> Geben Sie die Punkt-Richtungs-Gleichung der Geraden durch die Punkte P(1|-2|3) und Q(-4|0|5) an.

Das könnte am einfachsten durch $\vec g ~=~ \vec P ~+~ \lambda (-\vec P + \vec Q)$ angegeben werden. Im Detail wäre dies $\vec g ~=~ \begin{pmatrix} 1\\-2\\3 \end{pmatrix} ~+~ \lambda \begin{pmatrix} -5\\2\\2 \end{pmatrix}$.

==> Für welchen Parameterwert $\lambda$ ergibt sich der Mittelpunkt der Strecke $\overline {PQ}$?

Da die Punkt-Richtungs-Gleichung so konstruiert ist, dass für $\lambda = 0$ der Punkt P erreicht wird und für $\lambda = 1$ der Punkt Q erreicht wird, wäre mit $\lambda = 0,5$ der Mittelpunkt der Strecke $\overline {PQ}$ gegeben.

==> Geben Sie die übrigen Koordinaten des Punktes $P_0$ mit $z_0=-1$ an, wenn $P_0$ auf der Geraden liegt.

Dazu betrachtet man die Punkt-Richtungs-Gleichung für den Punkt $P_0 = \begin{pmatrix} x\\y\\-1 \end{pmatrix} $:

$\begin{pmatrix} x\\y\\-1 \end{pmatrix} ~=~ \begin{pmatrix} 1\\-2\\3 \end{pmatrix} ~+~ \lambda \begin{pmatrix} -5\\2\\2 \end{pmatrix}$

Für die z-Koordinate haben wir die Gleichung $-1 = 3 + \lambda (2)$, also $-1 = 3 + 2\lambda$. Daraus ergibt sich $\lambda = -1$.  Damit errechnet sich die y-Koordinate von $P_0$ zu $y = (-2) - 1 \cdot (2) ~=~ -4$ und die x-Koordinate zu $x = 1 - 1 \cdot (-5) ~=~ 6$.

==> In welchem Punkt durchstösst die Gerade die Ebene mit der Gleichung x+y+z=3 ?

Wenn eine Ebene mit einer solchen Gleichung beschrieben wird, nennt man dies die Koordinatenform der Ebenengleichung.  Um den Schnittpunkt der Gerade mit der Ebene zu bestimmen, setzt man die Gerade in die Ebenengleichung ein (siehe auch http://de.serlo.org/mathe/geometrie/analytische-geometrie/lagebeziehung-... ).

Man setzt also die einzelnen "Zeilen" von

$\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} ~=~ \begin{pmatrix} 1\\-2\\3 \end{pmatrix} ~+~ \lambda \begin{pmatrix} -5\\2\\2 \end{pmatrix}$

in die Koordinatenform der Ebene (x+y+z=3) ein und erhält:

$(1 - 5\lambda) ~+~ (-2 + 2\lambda) ~+~ (3 + 2 \lambda) ~=~ 3$
$2 - \lambda ~=~ 3$
$\lambda ~=~ -1$

Damit müsste die Gerade die Ebene genau im Punkt $\begin{pmatrix} 1\\-2\\3 \end{pmatrix} ~-~  \begin{pmatrix} -5\\2\\2 \end{pmatrix} ~~=~~ \begin{pmatrix} 6\\-4\\1 \end{pmatrix}$ durchstossen.