Aufgabe 210

Aufgabe

Berechnen Sie den Ausdruck $\lvert (\vec a - \vec b) \times (\vec a + \vec b) \rvert$

Lösungsvorschlag:

Wenden wir zunächst auf den Ausdruck $\lvert (\vec a - \vec b) \times (\vec a + \vec b) \rvert$ die Regel 1 an, dann erhalten wir
$\lvert (\vec a - \vec b) \times (\vec a + \vec b) \rvert = \lvert (\vec a - \vec b) \times \vec a +  (\vec a - \vec b) \times \vec b \rvert$
Danach wenden wir die Regel 2 an und erhalten:
$ \lvert \vec a \times \vec a - \vec b \times \vec a ~+~  \vec a \times \vec b - \vec b \times \vec b \rvert$
Mit Regel 5 (Kreuzprodukt eines Vektors mit sich selbst (oder einem parallelen Vektor) ist 0) wird daraus:
$\lvert \vec 0 - \vec b \times \vec a ~+~  \vec a \times \vec b - \vec 0 \rvert  ~=~ \lvert -\vec b \times \vec a ~+~  \vec a \times \vec b \rvert $
Jetzt können wir noch Regel 3 anwenden:
$\lvert -\vec b \times \vec a ~+~  \vec a \times \vec b \rvert ~=~ \lvert \vec a \times \vec b ~+~  \vec a \times \vec b \rvert$ und erhalten $\lvert \vec a \times \vec b ~+~  \vec a \times \vec b \rvert ~=~ \lvert 2 \cdot \vec a \times \vec b \rvert ~=~ 2\cdot \lvert \vec a \times \vec b \rvert$
Weitere Vereinfachungen sind nicht ersichtlich, also wäre das das Ergebnis.